Подобие треугольников. Использование в задачах

Примечание. Это вторая часть урока с задачами по геометрии о подобии треугольников. Здесь размещены задачи, которые вызывают трудности при решении. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме.

Задача

В треугольник ABC вписан квадрат KLMN. При этом точка M лежит на стороне AC, точка N лежит на стороне AC, точка K лежит на стороне AB, точка L лежит на стороне BC. Найти сторону квадрата, если длина стороны AC треугольника равна a, высота BD, опущенная из вершины B треугольника равна h.

Решение.

Обозначим искомую сторону квадарата как x. Обозначим точку, в которой высота треугольника BD пересекает сторону вписанного квадрата как E. Тогда

BD = BE + ED

Поскольку ED будет равно стороне квадрата, то

h = BE + x
BE = h - x

Полученные треугольники ABC и BKL являются подобными, таким образом, все их геометрические размеры относятся друг к другу с неким коэффициентом подобия. Отношение оснований треугольников равно отношению оснований их высот. То есть:

KL / AC = BE / BD

KL - это сторона вписанного квадрата, значит

x / a = (h - x) / h
xh = a (h - x)
xh = ah - ax
xh + ax = ah
x (h + a) = ah
x = ah / (h + a)

Ответ: ah / (h + a)

Задача

В треугольнике ABC на стороне AB выбрана точка D, такая, что BD:BA=1:3. Плоскость, параллельная прямой AC и проходящая через точку D, пересекает отрезок BC в точке D₁. Докажите, что треугольник DBD₁ подобен треугольнику ABC.

Решение.

Для доказательства воспользуемся теоремой Фалеса: "Параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки".

Поскольку плоскость, проходящая через точку D, которая пересекает отрезок BC в точке D₁ параллельна прямой AC, то прямая DD₁ принадлежащая этой плоскости, также параллельна прямой AC.

Согласно теореме Фалеса, " Параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки ". То есть:

BD / AD = BD₁ / D₁C

Согласно второму признаку подобия треугольников " Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы между этими сторонами равны, то треугольники подобны ".
В данном случае угол В у треугольников DBD₁ и треугольника ABC является общим. Таким образом, треугольники подобны.

Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник

Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел стереометрия). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа "квадратный корень" применяется функция sqrt(), в которой sqrt - символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение.

Задача.
Один из катетов прямоугольного треугольника больше другого катета и меньше гипотенузы на 1 см. Найти площадь треугольника.

Решение.
Обозначим катет одного треугольника через х, тогда второй катет будет равен х+1, а гипотенуза х+2.
Тогда по теореме Пифагора:
x² + (x + 1)² = (x + 2)²
x² + (x + 1)² = (x + 2)²
x² + x² + 2x + 1 = x² + 4x +4
2x² + 2x +1 - x² - 4x -4 = 0
x² - 2x - 3 = 0

D = 16
x₁ = 3
x₂ = -1 (не подходит по условию задачи)

Площадь прямоугольного треугольника равна
S = 1/2 ab = 1/2 * 3 * 4 = 6 см².

Площадь треугольника также можно было найти по формуле Герона
S = 1/4 sqrt((a + b + c) (a + b - c) (a - b + c) (b + c - a))
S = 1/4 sqrt((3 + 4 + 5) (3 + 4 - 5) (3 - 4 + 5) (4 + 5 - 3))
S = 1/4 sqrt(12 * 2 * 4 * 6)
S = 1/4 √ 576 = 6 см².

Ответ: 6 см²

Задача.
В прямоугольном треугольнике медианы катетов равны корень из 52 и корень из 73. Найти площадь прямоугольного треугольника.

Решение.
Каждая из медиан катетов образует с прямым углом прямоугольный треугольник. Обозначим длину половины каждого катета как a и b. Тогда, по теореме Пифагора получим:

Откуда
a² = 73 - 4b²

подставим выражение во второе уравнение

b² + 4(73 - 4b²) = 52
b² + 292 - 16b² = 52
15b² = 240
b² = 16
b = 4

Соответственно, а² = 73 - 4 * 16 = 9, а = 3

Таким образом, катеты прямоугольного треугольника равны (2a и 2b) 8 и 6 см.

Откуда площадь прямоугольного треугольника равна
S = 1/2 8*6 = 24 см².

Ответ: Площадь прямоугольного треугольника равна 24 см².

Элементарные задачи

Задача.
В прямоугольном треугольнике АВС угол С равен 90градусов, сторона АС равна 3 см, а сторона ВС больше стороны АС на 2 см. Найдите tg угла А

Решение.
tg A = BC /AC
BC = AC + 2
AC = 3
tg A = 5 / 3