Высота равнобедренного треугольника

Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел равнобедренный треугольник). Здесь размещены задачи, которые вызывают трудности при решении. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. Для обозначения действия извлечения квадратного корня в решениях задач используется символ √ или sqrt(), при чем в скобках указано подкоренное выражение.

Задача

В равнобедренном треугольнике ABC боковые стороны AB, и AC равны 13а. Тангенс угла B равен 3/4. Найдите высоту AK, проведенную к основанию BC этого равнобедренного треугольника.

Решение.
Поскольку мы знаем тангенс угла B, то стороны прямоугольного треугольника AKB соотносятся как
AK/KB = tg B = 3/4

Обозначим коэффициент пропорциональности этих сторон как х.
Тогда по теореме Пифагора для данного треугольника будет справедливо выражение:

(3x)² + (4x)² = (13a)²
9x² + 16x² = 169a²
25x² = 169a²
x² = 169/25a²
x = 13/5a

Откуда
AK = 3x = 13/5a*3= 7,8a
KB = 4x = 13/5a*4 = 10,4a

Ответ: 7,8a и 10,4a

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник

Задача.
Окружность радиусом 4 вписана в равнобедренный треугольник MNK с основанием MK и касается стороны MN в точке С. найдите боковую сторону треугольника, если она в 5 раз больше отрезка CN.

Решение.
Пусть длина отрезка CN = x, тогда MN = 5х. То есть боковая сторона равнобедренного треугольника равна a = 5x

Примем во внимание формулу радиуса окружности для равнобедренного треугольника и формулу нахождения полупериметра равнобедренного треугольника.

Расстояние от вершины С треугольника до точки, в которой вписанная окружность касается стороны равно
d = p - c

Подставим известные значения
x = a + b/2 - a
x = b/2

Откуда основание равнобедренного треугольника
b = 2x

Подставим значения a и b в формулу радиуса вписанной окружности. Получим
r = x√(2/3)
4 = x√(2/3)
x = 4 / √(2/3)

Откуда a = 5x = 20 / √(2/3)

Ответ: 20 / √(2/3)

Окружность, описанная вокруг треугольника

Для нахождения радиуса окружности, описанной вокруг треугольника, можно воспользоваться следующими формулами:

где:
a,b,c - стороны треугольника
S - площадь треугольника
α - угол, противолежащий стороне a

Окружность, описанная вокруг треугольника

Примечание. В данном уроке изложены задачи по геометрии о треугольниках, вписанных в окружность. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме.

Задача

Внутри окружности проведены хорды AB и BC, длина которых равна радиусу окружности. Определите величину угла ABC.

Решение.
Проведем к центру окружности, который обозначим буквой O, отрезки AO, BO и CO. Поскольку по условию задачи AB и BC равны радиусу окружности, а AO, BO и CO равны радиусу по определению, то в треугольнике ABO AB=AO=BO=r (радиусу окружности), а в треугольнике BCO BC=OC=OB=r (радиусу окружности).

Таким образом, треугольники ABO и BCO - равносторонние. Углы равностороннего треугольника равны между собой и составляют 60 градусов. Таким образом углы ABO=OBC=60⁰, а угол ABC равен сумме углов ABO и OBC, ABC = ABO + OBC = 60⁰ + 60⁰= 120⁰.

Ответ: Искомый угол ABC, образованный двумя хордами AB и BC равен 120 градусов.

Задача

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 26 см. Найдите радиус описанной окружности.

Решение.
Центр описанной вокруг прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы. Значит R = 26/2 = 13 см.

Ответ: 13 см.

Задача

В треугольнике АВС угол В=60 градусов, АВ больше ВС на 1, радиус описанной окружности равен √7. Найдите площадь треугольника и длину стороны АС.

Решение.
обозначим BC как x, тогда AB = x+1
Радиус окружности, описанной вокруг треугольника равен
R = a / 2sinα
где
a - сторона, противолежащая углу α
Таким образом, учитывая, что sin 60 градусов равен √3/2:
√7 = AC / 2sin60º
√7 = AC / (2 √3/2)
√7 = AC / √3
AC = √21

Окружность, описанная вокруг треугольника (часть 2)

Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел окружность, описанная вокруг треугольника, треугольник, вписанный в окружность). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. Для обозначения действия извлечения квадратного корня в решениях задач используется символ √ или sqrt(), при чем в скобках указано подкоренное выражение.

Задача.
Радиус окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC, равен √3 см.
Найдите градусную меру угла B, если AC =√6 см

Решение.
Радиус окружности, описанной вокруг треугольника равен
R = a / 2sinα, где
a - сторона треугольника, вписанного в окружность, α - противолежащий угол.

Таким образом:
√3 = √6 / 2sinα
2sinα = √2
sinα = √2/2
Смотрим таблицу значений тригонометрических функций,
α = 45º
Ответ: градусная мера угла треугольника, вписанного в заданную окружность равна 45 градусов.