Последовательный колебательный контур.
Наиболее общий случай представляет собой цепь переменного тока состоящая из последовательно соединенных участков с активным сопротивлением R, индуктивностью L и емкостью С (рис. 17). Активное сопротивление характеризует активный (необратимый) процесс преобразования электрической энергии в другие виды энергии, а индуктивность и емкость - обратимый процесс преобразования энергии электромагнитного поля. Если по такой цепи пропустить синусоидальный ток 
, комплексное действующее значение которого 
то, по второму закону Кирхгофа, в комплексной форме для действующих значений подводимое к цепи напряжение равно сумме напряжений на отдельных участках цепи:
Как известно:
Поэтому
.
Запишем закон Ома в комплексной форме: 
,
гдеZ - комплексное полное сопротивление
где 
- модуль полного сопротивления.
- его аргумент.
Для упрощения записи комплексных полных сопротивлений вводят понятие реактивного сопротивления двухполюсника X. Оно является алгебраической разностью индуктивного и емкостного сопротивлений:
Комплексная полная мощность рассматриваемого двухполюсника:
Знак угла сдвига фаз 
определяется знаком реактивного сопротивления X. В зависимости от соотношения между индуктивным и емкостным сопротивлениями двухполюсник может быть: индуктивным (при XL>XC), емкостным (при XL<XC), чисто активным (при XL=XC).
1. Индуктивный двухполюсник: XL>XC. Комплексное полное сопротивление:
Реактивное сопротивление такого двухполюсника носит индуктивный характер 
(эквивалентное индуктивное сопротивление). Для данного случая построена векторная диаграмма (рис. 17,б). Подводимое напряжение U опережает ток цепи на угол сдвига фаз φL.
2. Емкостный двухполюсник: XL<XC. Комплексное полное сопротивление:
Эквивалентное реактивное сопротивление такого двухполюсника носит емкостный характер 
. Для указанного случая векторная диаграмма приведена на рис. 17, в. Подводимое напряжение U отстает от тока цепи на угол сдвига фаз φС.
3. Активный двухполюсник: XL=XC. Комплексное полное сопротивление этой цепи чисто активное: Z=R.
Эквивалентное реактивное сопротивление такого двухполюсника равно нулю. На рис. 17, г представлена векторная диаграмма для данного случая. Подводимое напряжение U совпадает по фазе с током: φ=0.
Явление, при котором в последовательной цепи из элементов R, L и С подводимое напряжение цепи совпадает по фазе с её током, называется резонансом напряжений.
Резонанс напряжения.
Основным условием возникновения резонанса напряжений в последовательном контуре является равенство реактивных сопротивлений XL=XC. В этом случае угол сдвига фаз между током и напряжением равен нулю (φ=0) и полное сопротивление цепи равно ее активному сопротивлению.
Из равенства реактивных сопротивлений XL=XC или 
следует, что резонанс можно достичь, изменяя или частоту подводимого напряжения, или параметры контура - индуктивность L или емкость C. Частота, при которой наступает резонанс, называется собственной угловой частотой
Индуктивное и емкостное сопротивление при резонансе равны:
(1)
Величина ρ называется волновым или характеристическим сопротивлением цепи.
При резонансе напряжений полное сопротивление цепи равно активному сопротивлению и минимально, а ток такой цепи
- максимален.
Умножив уравнение (1) на ток, получим, что при резонансе напряжения на индуктивности и емкости равны:
(2)
Если активное сопротивление цепи R невелико (
), то при резонансе сила тока в цепи резко возрастает, и одновременно сильно возрастают напряжения на емкости и индуктивности. Они во много раз могут превысить напряжение на входных зажимах цепи. Это свойство является важнейшей особенностью резонанса напряжений и широко используется в технике. Найдем отношение напряжений на реактивных элементах к подводимому:
, (3)
где 
- добротность цепи.
Физическая причина возникновения повышенных частичных напряжений - это колебания значительных количеств энергии между электрическим полем емкости и магнитным полем индуктивности. Умножив равенство (2) на ток получим равенство реактивных индуктивной и емкостной мощностей:
Энергия, поступающая от источника
затрачивается на потери в активном сопротивлении, достаточна для того, чтобы в системе поддерживались колебания энергии между магнитным и электрическими полями. Суммарная энергия электрического и магнитного поля при этом остается постоянной:
(4)
Как известно, если 
, то 
. Подставив этивыражения в уравнение (4), получим:
Амплитуда тока 
,a 
,следовательно, 
,на основании чего
Для техники связи, автоматики, радиоэлектроники и т.д. большое практическое значение имеет зависимость параметров цепи от частоты, которая называется амплитудно-частотной характеристикой контура. Зависимость действующих значений токов и напряжений цепи от частоты называется резонансными характеристиками.
Активное сопротивление большинства устройств от частоты не зависит. Зависимости индуктивного XL и емкостного XC сопротивлений от частоты определяются формулами 
. Они изображены на рис. 18, а. Реактивное сопротивление цепи 
При 
, XL< XC, X носит ёмкостный характер. При 
наступает резонанс напряжений (XL=XC) сопротивление цепи чисто активное. При 
, XL>XC и реактивное сопротивление носит индуктивный характер.
Резонансные характеристики представлены на рис. 18, б. При наличии в цепи сопротивления R наибольшие значения напряжений на реактивных элементах будут на частотах, отличных от резонансной частоты.
Напряжение на емкости равно:
(5)
Наибольшему значению Uc как функции ω соответствует минимум подкоренного выражения в формуле (5). Следовательно, чтобы определить условия максимума Uс (ω), нужно приравнять нулю первую производную по ω от этого выражения:
На основании этого искомая угловая частота:
Следовательно, напряжение на ёмкости Uc будет иметь наибольшее значение при ωc<ω0 .
Поступая аналогичным образом, найдем, что частота, при которой напряжение UL достигнет максимума, равна:
Следовательно: напряжение на индуктивности UL будет иметь наибольшее значение при ωL>ω0.
Чем больше добротность схемы 
, тем ближе вершины характеристик UC, UL (ω)и тем острее эти характеристики.
Из уравнения (3) следует, что: 
. Таким образом, при резонансе напряжения на индуктивности и емкости в последовательном колебательном контуре резко возрастают, поэтому этот резонанс называется резонансом напряжений. Резкое увеличение напряжение на конденсаторе при резонансе позволяет использовать последовательный колебательный контур в качестве частотно-избирательной системы для выделения из множества сигналов только одного, несущая частота которая совпадает с частотой собственных колебаний в контуре.
График зависимости тока от частоты (рис. 18б) показывает, что рассматриваемая цепь обладает избирательными свойствами. Цепь обладает наименьшим сопротивлением для тока той частоты, которая наиболее близка к ее резонансной частоте.
