Гармонические колебания. Изображение синусоидальных токов векторами и комплексными числами

Гармонические колебания используются в радиовещании, в устройствах связи, в источниках питания, в модемах и т. д. Промышленное напряжение изменяется с частотой 50 Гц. Частоты порядка сотен и тысяч герц применяются в телефонных цепях, самые высокие частоты используются в радиоэлектронике: от 10⁵ и 10⁹ Гц.

Синусоида – единственная периодическая функция, имеющая подобную себе производную. Только при помощи синусоидальных токов можно сохранить неизменными формы кривых напряжений и токов во всех участках сложенной линейной электрической цепи. Это свойство синусоидальных токов позволит относительно просто производить расчет цепей переменного тока.

Гармонические колебание можно записать уравнениями с тригонометри­ческими функциями, изобразить графически или представить в виде векторов на декартовой или комплексной плоскости.

Пусть ток и напряжения изменяются по гармоническому закону:

,

Значения аргументов синусоидальных функций и называются фазами синусоид. Значение фазы в начальный момент времени и называют начальной фазой.

Для расчёта электрических цепей аналитическое задание функции неудобно, так как алгебраические действия с тригонометрическими функциями громоздки.

Графическое представление синусоидальных величин (рис. 2) наглядно.

На графиках положительная начальная фаза отчитывается влево от начала ординат, а отрицательная - вправо. Если у нескольких гармонических величин, изменяющихся с одинаковой частотой, начала синусоид не совпадают по времени, то они сдвинуты друг относительно друга по фазе. Разность углов , равная разности начальных фаз, называется углом сдвига фаз. Угол сдвига фаз одноименных функций обозначают буквой , а равноименных .

_.

Графическое представление синусоидальных величин из-за сложности построения синусоид применяют сравнительно редко. Изобразить гармонические величины можно векторами на декартовой плоскости (рис. 3). Совокупность векторов, изображающих синусоидальные э. д. с., напряжения и тока одной частоты, в соответствии со значениями их амплитуд и фазовых углов называют векторными диаграммами. Построение векторных диаграмм рационально начинать для начального момента времени t=0. В этом случае положение вектора определяется начальной фазой. На рис. 3 показаны векторные диаграммы напряжения и тока, изображенных синусоидами на рис. 2.

Применение векторных диаграмм делает анализ электрической цепи наглядным. В этом методе сложение и вычитание мгновенных значений величин можно заменить сложением и вычитанием их векторов.

Расчёт цепей переменного тока облегчается, если изображать синусоидально изменяющиеся токи, напряжения, э. д. с. и т. д. комплексными числами. На комплексной плоскости ось абсцисс плоскости декартовых координат совмещают с осью вещественных или действительных значений (ось +1) комплексной плоскости. Ось ординат совмещают с осью мнимых чисел и величин (ось + ). (В электронике мнимую единицу обозначают ).

Каждому вектору на комплексной плоскости соответствует определенное компле­ксное число, которое может быть записано в алгебраической, тригонометрической и показательной форме. Например, току , соответствует комплексное число записанные в алгебраической форме:

.

В тригонометрической форме: .Используя подстановку Эйлера , можно получить показательную форму записи .

Фазовый угол определяется по проекциям вектора на оси координат +1 и +j:

Модуль комплексной амплитуды тока находится по формуле:

Мнимая составляющая комплексного числа вектора на комплексной плоскости определяет синусоидальное изменение сигнала и обозначается символом Im (Imagine – воображаемый), например,

.

Действительная составляющая определяет косинусоидальное изменение сигнала и обозначается символом Re (Real – действительный)

.

Комплексные величины , называются комплексными амплитудами гармонического сигнала, которые содержат информацию об амплитуде и начальной фазе.

Символический метод применяется для расчета. Он дает возможность выразить в алгебраической форме геометрические операции с векторами переменного тока, благодаря чему является возможным применять все методы расчета цепей постоянного тока для цепей переменного тока.