Идеальный фильтр должен иметь П-образную частотную характеристику и линейную фазовую характеристику в полосе пропускания. Для решения многих радиотехнических задач необходимы фильтры, частотная характеристика которых приближается к идеальной. Для создания таких фильтров используется система контуров, связанных между собой или общим магнитным полем (индуктивная связь), или общим электрическим полем (ёмкостная связь).
Рассмотрим два одинаковых контура (R1=R2=R, L1=L2=L, C1=C2=C) с индуктивной связью (рис. 1).
Коэффициент передачи такой схемы:
(1)
где 
- комплексные амплитуды э.д.с., силы тока во втором контуре и напряжения на конденсаторе.
Для нахождения амплитуды силы тока в контурах запишем систему уравнений Кирхгофа:
(2)
М – коэффициент взаимной индукции.
Воспользовавшись методом комплексных амплитуд, запишем в комплексной форме: 
, 
, 
. Подставив эти значения в систему (2) получим систему уравнений:
(3)
где 
- сопротивления связи.
Решая систему уравнений (3), находим
(4)
Из первого соотношения (4) можно заключить, что связь первого контура со вторым контуром в электрическом отношении эквивалентна включению в первый контур дополнительно вносимого сопротивления Zвн:
, (5)
где: 
.
С энергетической точки зрения наличие 
объясняется тем, что часть энергии источника поступает во второй контур и поглощается в его активном сопротивлении. Наличие 
связано с тем, что ток I2 наводит э.д.с. взаимной индукции в первом контуре. Таким образом, влияние второго контура на первый приводит к увеличению эквивалентного активного сопротивления первого контура на и изменению его эквивалентного реактивного сопротивления на . Следовательно, эквивалентное сопротивление симметричной системы двух связанных контуров, измеренное на входных зажимах «11» можно представить в виде: 
, 
. На собственной частоте 
:
(6)
и зависят от частоты сигнала (от расстройки 
). При 
, 
, а 
, имеет максимальное значение. В зависимости от М 
может быть как больше, так и меньше собственного активного сопротивления R первого контура.
Если 
, связь называется критической.
Если 
, связь слабая.
Если 
, связь больше критической.
При критической связи 
.
Умножив числитель и знаменатель левой части на L2, получим:
Количественно связь между контурами характеризуется коэффициентом связи 
. При одинаковых контурах L1=L2=L, 
определяет, какая доля собственного магнитного потока катушки первого контура проходит через катушку второго. При критической связи 
.
Найдём резонансные частоты системы из условия равенства нулю её реактивного сопротивления 
.
В последнее уравнение подставим (6), учтём, что 
, а , получим:
(7)
Получили уравнение (7) третьей степени относительно . Корни этого уравнения
.
При связи меньше критической (
) корни 
мнимые и не имеют физического смысла. Следовательно, при 
система имеет одну резонансную частоту , определяемую действительным корнем (
). При 
все три корня равны 0, система в этом случае имеет одну резонансную частоту . При 
все три корня уравнения (7) действительны и, значит, система имеет три резонансных частоты, одна из которых , а две другие
.
Частоты 
называют частотами связи, или нормальными частотами системы.
Для связанных контуров при 
можно получить фильтр с более широкой полосой пропускания по сравнению с одиночным контуром и амплитудно-частотную характеристику, близкую к идеальной П-образной.
Определим значение коэффициента передачи. Для этого подставим Im2 из (4) в (1), получим:
(8)
Преобразуем знаменатель (8), учитывая, что расстройка 
и 
, тогда:
Подставим последнее выражение в (8):
.
Откуда
(9)
На рис. 24 приведено семейство зависимостей K(), описываемых уравнением (9) для различных значений 
.
При 
.
Ширина полосы пропускания связанных контуров определяется также, как и для одиночного:
или 
.
Отсюда 
. Тогда относительная полоса пропускания при критической связи (кривая 2, рис. 24) 
в 
раз больше, чем у одиночного контура.
При 
амплитудно-частотная характеристика не имеет провала при 
(кривая 1, рис. 24). При слабой связи (
)
.
Отсюда 
.
Таким образом, при слабой связи полоса пропускания связанных контуров уже, чем у одиночного контура.
При амплитудно-частотная характеристика становится двугорбой, с провалом при (кривая 3, рис. 24). Оптимальным считается такое значение 
, при котором коэффициент передачи в минимуме К(0) в раза меньше, чем в максимуме Kmax.
В этом случае можно составить два уравнения:
(10а)
(10б)
Учитывая, что при 
модуль коэффициента передачи К на частотах связи не зависит от 
и равен модулю коэффициента передачи при критической связи и 
, получим:
.
Откуда
(11)
Подставим (11) в (9), и учитывая (10а), получим:
.
Отсюда
.
Следовательно, в оптимальном случае 
, а полоса пропускания фильтра связанных контуров примерно втрое шире, чем у одиночного контура-фильтра.
Глава 5.
Электронные приборы.
