Простой и широко используемой в радиоэлектронике линейной системой с постоянными параметрами является колебательный контур, содержащий емкость C, индуктивность L и сопротивление R (рис. 1). Сопротивление R учитывает сопротивление потерь конденсатора и индуктивности.
Пусть в момент времени t=0 конденсатор имеет заряд 
. Найдем закон изменения во времени заряда на конденсаторе.
По закону Кирхгофа:
(1)
В контуре действует только ЭДС самоиндукции 
, поэтому:
(2)
Напряжение равно сумме напряжений на активном резисторе и емкости:
(3)
Подставим в уравнение (1) уравнения (2) и (3), получим:
(4)
Разделим (4) на L (
) и, обозначив через 
, 
, (
- коэффициент затухания, 
-собственная частота) получим:
(5)
Уравнение (5) линейное, однородное, дифференциальное уравнение описывает свободные колебания в контуре с учетом потерь энергии в отсутствие внешних воздействий. Общее решение уравнение (5) будем искать в виде:
(6)
где 
-корни характеристического уравнения 
, т.е.
(7)
При этом различают три случая:
а) 
- случай малого сопротивления,
б) 
- случай большого сопротивления,
в) 
- предельный случай.
а) или 
Учитывая, что волновое сопротивление 
, последнее неравенство может быть записано так 
.
Для этого случая решение уравнения (5) имеет вид:
(8)
Колебания, описываемые формулой (8) представляют собой свободные затухающие колебания. Эти колебания не являются периодическими, т.к. выражение 
переменно и убывает по экспоненциальному закону (рис. 2.а).
Однако, по аналогии со свободными колебаниями и здесь вводят частоту и период колебаний.
Частота колебаний тока в контуре при наличии сопротивления равна:
(9)
т.е. 
.
Период колебаний T при наличии сопротивления цепи равен:
Для идеального контура 
, тогда
(10)
Период затухания колебаний больше периода собственных колебаний. Если 
, тогда 
.
Решение (8) можно представить графически (рис. 2а).
б) . В этом случае 
. В контуре совершается затухающее апериодическое колебание согласно уравнению:
(11)
Вследствие изменения по показательному закону, колебание быстро затухает. Характер колебаний зависит от начальных условий. Если 
, а 
, то графическое решение уравнения (11) имеет вид, представленный на (рис. 2б). Конденсатор С цепи успевает один перезарядиться.
в) , тогда 
.
Решение дифференциального уравнения (5) находят в виде:
(12)
На рис. 2в представлено графическое изображение уравнения (12).
Обычно в колебательном контуре потери энергии таковы, что выполняется условие а). Для реализации условий б) и в) вводят в контур добавочное сопротивление.
К величинам, характеризующим быстроту затуханий колебаний в колебательном контуре, относятся коэффициент затухания , логарифмический декремент затухания d, добротность Q.
1. Коэффициент затухания характеризует быстроту затухания колебаний в контуре. Для выяснения физического смысла , возьмем интервал времени 
, такой, чтобы по его истечению амплитуда колебаний уменьшалась в e раз:
, (13)
при этом совершается N целых колебаний:
(14)
В момент времени t заряд изменяется по закону:
(15)
В момент времени 
измерение заряда равно:
(16)
Подставив (14) и (15) в (13), получим:
.
Сравнивая показатели степени, имеем:
(17)
Таким образом, коэффициент затухания есть временная характеристика, величина, обратная тому промежутку времени , по истечении которого амплитуда колебаний в контуре уменьшается в e раз.
2. Логарифмический декремент затухания d.
Декремент затухания характеризует уменьшение амплитуды колебаний за период 
. Логарифмический декремент затухания d равен натуральному логарифму этого отношения:
(18)
(19)
Учитывая формулу (19), получим:
(20)
Формула (20) выражает связь d с параметрами контура.
Если 
, то
(21)
Выясним физический смысл логарифмического декремента затухания d. Для этого из формулы (14) найдем период, подставим его значение в формулу (19) и учитывая (17), получим:
(22)
Логарифмический декремент затухания числовая характеристика, величина, обратная тому числу полных колебаний, по истечении которых амплитуда колебаний уменьшается в e раз.
Чем меньше d, тем большее число колебаний совершится до их полного затухания. Запасенная энергия в контуре определяется выражением:
(23)
Энергия, израсходованная контуром за половину периода:
(24)
В течение периода можно считать, что ток изменяется по гармони-ческому закону, тогда:
(25)
Найдем отношение:
(26)
(26а)
Логарифмический декремент затухания 
является обратной энергетической характеристикой: чем больше расход энергии при колебаниях и чем меньше запас энергии в контуре, тем больше .
3. Добротность колебательного контура
(27)
В (27) подставим формулу (20)
, (28)
если 
, то 
.
Добротность контура равна отношению волнового сопротивления к активному; это безразмерная величина.
Добротность - это энергетическая характеристика контура. Подставим (25а) в (26), получим:
(30)
