Дифференцирование функции, заданной неявно

Теорема 1. Пусть функция F(x,y) удовлетворяет условиям

F(x0,y0) = 0;

частные производные F'x и F'y непрерывны в некоторой окрестности точки (x0,y0);

F'y(x0,y0) ≠ 0.

Тогда

уравнение F(x,y) = 0 определяет неявно в некоторой окрестности точки x0 единственную непрерывную функцию y(x), удовлетворяющую условию y(x0) = y0.

функция y(x) имеет производную, непрерывную в окрестности точки x0.

Выясним смысл условий теоремы.

Существование непрерывной неявной функции y = f(x) в окрестности точки (x0, y0) следует из теоремы существования, так как:

условие 1 гарантирует существование точки, координаты которой удовлетворяют уравнению F(x,y) = 0;

из условия 2 следует непрерывность функции F(x,y) в окрестности точки (x0,y0), а из условия 3 — ее монотонность по y при каждом фиксированном x из этой окрестности.

Следовательно, условия 1–3 обеспечивают выполнение условий существования неявной функции y(x), удовлетворяющей условию y(x0) = y0 и непрерывной в окрестности точки x0.

 

Скалярное поле. Линии уровня. Производная по направлению.

Скалярное поле. Если каждой точке М пространства ставится в соответствие скалярная величина u(M), то возникает скалярное поле (например, поле температуры, поле электрического потенциала). Если введены декартовы координаты, то обозначают также u(x,y,z) Поле может быть плоским, если u=u(x,y), центральным (сферическим), если

u=u(Корень x^2 + y^2 + z^2) цилиндрическим, если

u=u(Корень x^2 + y^2)

Поверхности и линии уровня. Свойства скалярных полей можно наглядно изучать с помощью поверхностей уровня. Это поверхности в пространстве, на которых u принимает постоянное значение. Их уравнение: u(x,y,z)=const. В плоском скалярном поле линиями уровня называют кривые, на которых поле принимает постоянное значение: u(x,y)=const. В отдельных случаях линии уровня могут вырождаться в точки, а поверхности уровня в точки и кривые.

Производная по направлению. Пусть L - единичный вектор с координатами (cos a, cosB, cos y), u(x,y,z) - скалярное поле. Производная по направлению характеризует изменение поля в данном направлении и вычисляется по формуле

 

 

Градиент и его свойства.

Пусть дана функция. U=f(x,y,z) определенная и дифференцируема в некоторой области D.

Градиентом функции называется вектор проекции которого на оси координат равны соответствующим частным производным.

grad U=(∂U/∂х)i+(∂U/∂у)j+(∂U/∂z)k

Свойства градиента: 1. Производная по направлению имеет МАХ значение в направлении совпадающем с градиентом.

1.Производная в направлении ⊥ градиенту равно 0.

2.Градиент ⊥ линиям уровня.

Доказательство: U=u(x,y) тогда gradU=UX1i+UX1j тогда угловой коэффициент прямой совпадает с градиентом и будет равен. К1=tgα=(UY1/UX1)

Линией уровня называется линия на которой функция принимает постоянное значение u(x,y)=с. Геометрический смысл градиента состоит в том что градиент указывает направление наибольшего изменения функции.

 

3 0. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума.

Понятие максимума, минимума, экстремума функции нескольких переменных аналогичны соответствующим понятиям функции одной независимой переменной:

Пусть функция z=f(x;y) определенная в некоторой области D точка N(x₀;y₀) D.

Точка х₀, у₀ называется точкой максимума функции z=f(х;y), если существует такая δ-окрестность точки (х₀;у₀), что для каждой точки (х;у), отличной от (х₀;у₀), из этой окрестности выполняется неравенство f(х;y)<f(х₀;y₀). Аналогично определяется точка минимума функции: для все точек (х;у), отличных от (х₀;у₀), из δ-окрестности точки (х₀;у₀) выполняется неравенство: f(х;y)>f(х₀;y₀).

Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум (минимум) функции называется экстремумом функции.

Теорема (необходимые условия экстремума): если в точке N(х₀;у₀) дифференцируемая функция z=f(x;y) имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю: f’_х(х₀;у₀)=0, f’_у(х₀;у₀)=0.

Замечание: функция может иметь экстремум в точках, где хотя бы одна из частных производных не существует.

Точка, в которой частные производные первого порядка функции z=f(x;y) равны нулю, т.е. f’_х=0, f’_у=0, называется стационарной точкой функции z.

Стационарные точки и точки, в которых хотя бы одна частная производная не существует, называется критическими точками.

В критических точках функция может иметь экстремум, а может и не иметь. Равенство нулю частных производных является необходимым, но не достаточным условием существования экстремума.