Понятие первообразной и неопределенного интеграла. Теорема о совокупности первообразных. Свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов.
Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), на заданном промежутке, если на этом промежутке функция F(x) непрерывна, и в каждой внутренней точке промежутка справедливо равенство: F’(x) = f(x)
Теорема 1. Если функция F(x) имеет на промежутке первообразную F(x), то и все функции вида F(x)+C будут для нее первообразными на том же промежутке. Обратно, любая первообразная Ф(x) для функции y = f(x) может быть представлена в виде Ф(x) = F(x)+C, где F(x) - одна из первообразных функций, а C - произвольная постоянная.
Доказательство:
По определению первообразной имеем F’(x) = f(x). Учитывая, что производная постоянной равна нулю, получаем
(F(x)+C)’ = F’(x)+C’ = F’(x) = f(x). Это и означает, что F(x)+C является первообразной для y = f(x).Покажем теперь, что если функция y = f(x) задана на некотором промежутке и F(x) - одна из ее первообразных, то Ф(x) может быть представлена в виде
Ф(x) = F(x)+C
В самом деле, по определению первообразной имеем
Ф’(x) = F(x)+C и F’(x) = f(x).
Но две функции, имеющие на промежутке равные производные, отличаются друг от друга лишь на постоянное слагаемое. Значит, Ф(x) = F(x)+C, что и требовалось доказать.
Определение.
Совокупность всех первообразных для функции y = f(x) на заданном промежутке называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается ∫f(x)dx = F(x)+C
Функция f(x) называется подынтегральной функцией, а произведение f(x)*dx - подынтегральным выражением.
Часто говорят: "взять неопределенный интеграл" или "вычислить неопределенный интеграл", понимая под этим следующее: найти множество всех первообразных для подынтегральной функции,
Свойства неопределенного интеграла
1. (f(x)dx) = f(x)
2. ∫f′(x)dx = f(x) + c
3. ∫a ⋅ f(x)dx = a∫f(x)dx, a ≠ 0
4. ∫(f1(x) + f2(x))dx = ∫f1(x)dx + ∫f2(x)dx
Таблица интегралов
Интегрирование подстановкой и по частям в неопределенном интеграле.
Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (т. е. подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводащимся (в случае «удачной» подстановки). Общих методов подбора подстановок не существует.
Пусть тpебyетcя вычислить интеграл ∫f(x)dx. Сделаем подстановку х =φ(t), где φ(t) - функция, имеющая непрерывную производную. Тогда dx=φ'(t) dt и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопpeделeннoгo интеграла получаем формулу интегриpoвaния подcтaнoвкoй ∫f(x)dx = ∫f(φ(t)) * φ’(t)dt Эта формула также называется формулой замены переменных в неопределeннoм интеграле. Пoслe нахождения интеграла правой части этого равенства следует перейти от новой переменной интегрирования t назад к переменной х.
Метод интегрирования по частям
Пусть u=u(х) и ν=v(х) - функции, имеющие непрерывные производные. Тогда d(uv)=u•dv+v•du.
Интегрируя это равенство, получим ∫d(uv) = ∫udv + ∫vdu или
∫udv =uv - ∫vdu
Полученная формула называется формулой интегрирования по частям. Она дает возможность свести вычисление интеграла ∫udv к вычислению интеграла ∫vdu, который может оказаться существенно более простым, чем исходный.
Интегрирование по частям состоит в том, что подынтегральное выражение заданного интеграла представляется каким-либо обpaзoм в виде произведения двух сомножителей и и dv (это, как правило, можно осуществить несколькими cспособами); затем, после нахождения ν и du, используется формула интегрирования по частям. Иногда эту формулу приходится использовать несколько раз.
