Понятие определенного интеграла

Предположим, что на [a,b] определена функция n частей и запишем сумму которая именуется интегральной.

О: Под определенным интегралом (о.и.) от функции и от выбора

Обозначение: Числа f(x) именуют интегрируемой (по Риману) на [a,b].

Т. существования: При условии, что[a,b].

 

В соответствии с определением о.и. отметим, что интеграл имеет зависимость от вида f(x), пределов a и b, однако не зависит от символа обозначения переменной x, иначе выражаясь

 

Св-ва определенного интеграла

 

Используя определение предела интегральных сумм, получаем следующие свойства определенного интеграла:

 

1) Если f(x) и g(x) , - произвольные числа, то функция и справедливо равенство:

2) Если f(x) , то

3) Если f(x) и c , то f(x) , f(x) и справедливо равенство:

4) Если f(x) , и b>a, то справедливо неравенство:

5) Если f(x) и g(x) , и b>a, то справедливо неравенство:

6) Если f(x) и , , b>a, то выполняются неравенства:

7) Если f(x) , то , такое, что выполняется равенство:

 

 

Интегрирование подстановкой и по частям в опред интеграле

Интегрирование подстановкой

Теорема. Если

То

 

Пусть F(x) есть первообразная для f(x) на отрезке [a;b],

Интегрирование по частям

Теорема: если ф-ция u=u(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a;b],то имеет место формула

 

Теорема о производной от интеграла по переменному верхнему пределу.

Если в определенном интеграле изменять верхний предел b, то будет меняться и значение интеграла, то есть интеграл будет функцией верхнего предела.

Обозначим верхний предел x, а переменную интегрирования, чтобы не смешивать ее с верхним пределом, обозначим t. Таким образом, интеграл с переменным верхним пределом является функцией от x: Имеет место теорема: производная интеграла с переменным верхним пределом от непрерывной функции равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена верхним пределом:

Доказательство. По определению производной

где

[первый интеграл представим в виде суммы двух интегралов, пользуясь свойством аддитивности]=

[по теореме о среднем]= где Тогда следует из определения непрерывной функци, т.к. при

Таким образом, Это значит, что интеграл с переменным верхним пределом является первообразной для функции f(x).

 

9. Формула Ньютона – Лейбница.

 

Сравнивая две формулы для площади криволинейной трапеции, приходим к следующему заключению: если F (x) - первообразная функции f (x) на отрезке [ a, b ], то

 

 

формула справедлива для любой функции f (x), непрерывной на отрезке [ a, b ].

 

 

Геометрические приложения определенных интегралов