Пример выполнения типового расчета. Условие типового расчета

Условие типового расчета

Уравнения кривых заданы таблицей из коэффициентов.

Приведем решения первых трех задач, указанных в задании.
Задача 1.
1. По условию, уравнение имеет вид: 25 x ² – 36 y ² – 50 x – 72 y + 3589 = 0.
2. Так как AB = 25·(–36) < 0, то это уравнение гиперболического типа (см. 1, п. 1.2), следовательно, оно может определять или гиперболу, или пару пересекающихся прямых.
3. Выделим полные квадраты и приведем уравнение к каноническому виду:
25(x ² – 2 x) – 36(y ² + 2 y) + 3589 = 0;
25(x – 1)² – 36(y + 1)² = –3589 + 25 – 36;
25(x – 1)² – 36(y + 1)² = –3600;
.
4. Перейдем к новой ДПСК ­ X′O′Y′:

; ­ ­ ­

(12)

Тогда наше уравнение примет вид

(13)

Теперь хорошо видно, что данное уравнение определяет гиперболу (см. III). Однако наша гипербола расположена относительно ДПСК ­ X′O′Y′ не так, как изображено на рис. 7.2, а повернута на 90°, т.е. ее действительная ось – ось OY, а мнимая – OX.
5. Найдем основные числовые характеристики гиперболы.
Действительная полуось a = 10. Мнимая полуось b = 12.
Расстояние от центра до фокуса .
Эксиентриситет гиперболы ε = c/d = 1.56 > 1.
6. Найдем координаты замечательных точек и уравнения замечательных прямых сначала в ДПСК ­ X′O′Y′, затем, пользуясь формулами (7.12), в данной ДПСК ­ XOY.
a)
Следовательно, координаты центра гиперболы O' в данной ДПСК ­ XOY будут (1,–1).
b) Уравнения осей симметрии. Как мы уже отмечали, наша гипербола имеет действительную ось – ось O'Y': x' = 0 и мнимую ось – ось O'X': y' = 0. С учетом (7.12) уравнение действительной оси x = 1, аналогично, уравнение мнимой оси: y = –1.
с) Вершины:
В системе X'O'Y'
, ­ ­ где ­ ­ ;
, ­ где ­ ;
отсюда, в системе XOY, A ₁ (X ₁, Y ₁) = A ₁(1; –11), A ₂(X ₂, Y ₂) = A ₂(1; 9).
d) Фокусы. В системе X'O'Y':


Отсюда в системе XOY: ­ F ₁(–1; –16,6); ­ F ₂(1; 14,6).
e) Директрисы.


L ₁­: ­ y = –7,4; ­ ­ ­ L ₂: y = 5,4.
f) Асимптоты.
.
x – 1,2 y – 2,2 = 0.
.
x + 1,2 y + 0,2 = 0.
Γ ₁­: ­ x – 1,2 y – 2,2 = 0; ­ ­ ­ ­ Γ ₂­: ­ x + 1,2 y + 0,2 = 0.
7 Сводка полученных результатов

Данное уравнение кривой	25 x 2 – 36 y 2 – 50 x – 72 y + 3589 = 0
Уравнение кривой относительно ДПСК ­ X'O'Y' (после параллельного переноса)
Название кривой	Гипербола
Полуоси	Действительная полуось a = 10 Мнимая полуось b = 12
Расстояние от центра до фокуса
Эксцентриситет
Связь между координатами точки (X,Y) и (X',Y')	;

 

ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ	Координаты в ДПСК ­ X'O'Y'	Координаты в ДПСК ­ XOY
Центр O'	(0, 0)	(1, –1)
Вершины A 1 A 2	(0; –10) (0; 10)	(1; –11) (1; 9)
Фокусы F 1 F 2	(0; –15,6) (0; 15,6)	(1; –16,6) (1; 14,6)
ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ	Уравнение в ДПСК ­ X'O'Y'	Уравнение в ДПСК ­ XOY
Оси Действительная Мнимая	x' = 0 y' = 0	x = +1 y = –1
Директрисы L 1 L 2	y' = –6,4 y' = 6,4	y = –7,4 y' = 5,4
Асимптоты Γ 1 Γ 2	x' = 1,2 y'x' = –1,2 y'	x – 1,2 y – 2,2 = 0 x + 1,2 y + 0,2 = 0

8. На рисунке 7.4 изображена гипербола.

Рис. 7.4 Гипербола

Задача 2.
1. По условию уравнение имеет вид
y ² – 16 x + 6 y – 23 = 0.
2. Так как AB = 0 ·1 = 0, то это уравнение параболического типа (см. 1, п.2); далее, так как C ≠ 0 (см. 1, п. 2.1), то это уравнение определяет параболу.
3. Выделим полный квадрат:
(y ² + 6 y + 9) = 16 x + 23 + 9; ­ (y + 3)² = 16(x + 2).
4. Перейдем к новой ДПСК ­ X'O'Y'

­ ­

(14)

тогда наше уравнение примет вид: (y')² = 16 x'.
5. Найдем параметр: 2 p = 16, ­ p = 8.
6. Найдем координаты замечательных точек и уравнения замечательных прямых:
а) Вершина ­ ­ (См. (14)). ­ ­ O' (–2; –3).
b) Уравнение оси: ­ y' = 0, ­ y + 3 = 0, ­ т.е. ­ y = –3.
c) Координаты фокуса F (p /2,0):
F (2, –3).
d) Уравнение директрисы: ­ z: ­ X' = –p/2; ­ ­ X' = –4; ­ ­ X + 2 = –4 ­ ­ или ­ ­ X = –6.