Вычисление определителей, исследование и решение систем линейных уравнений

• с помощью свойства 4 добиться, чтобы в некоторой выбранном столбце (например, первом) стояли на всех местах нули, кроме, быть может, одного;
• применяя свойство 5, разложить определитель по этому столбцу и тем самым свести его вычисление к нахождению определителя меньшего порядка;
• повторяя этот прием в конце концов можно получить определитель второго порядка, который вычисляется непосредственно.

В процессе преобразования определителя по мере необходимости используют свойства 1 и 2, или выясняют, согласно свойству 3, что он равен нулю.

4.2.2 Исследование и решение систем линейных уравнений
Пусть дана система m линейных уравнений с n неизвестными:

(1)

Рассмотрим A – матрицу коэффициентов этой системы и A ₁ – расширенную матрицу системы:
.
Если число уравнений m равно числу неизвестных n, то важную роль играет определитель матрицы A. Если | A | не равен нулю, то система имеет единственное решение (теорема Крамера), которое можно найти по формулам (формулы Крамера), где |Δ _i | – определитель, получающийся из определителя | A | заменой его i -го столбца столбцом свободных членов B с сохранением без изменения всех остальных столбцов | A |. Определитель | A | называют главным определителем системы, а определители |Δ _i| – вспомогательными определителями.
Если же | A | = 0, то система либо несовместна (не имеет решений), либо является неопределенной (имеет бесконечное множество решений).
Для исследования системы (4.1) в случае m = n и | A | = 0, а также в случае m ≠ n, т.е. когда число уравнений не равно числу неизвестных, необходимо найти ранги матриц A и B.
Рангом матрицы называется наибольший из порядков ее миноров, отличных от нуля. Минором K-го порядка данной матрицы называется определитель квадратной матрицы, получающейся из данной матрицы выделением произвольных K строк и K столбцов. Квадратная матрица порядка K образуется из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов.
Если ранг матрицы A равен r, то это означает, что в матрице A имеется хотя бы один отличный от нуля минор порядка r, но всякий минор порядка большего r, равен нулю.
Ранг матрицы A может быть найден с помощью элементарных преобразований первого и второго родов.
Элементарными преобразованиями первого рода называются следующие действия:
1) умножение какой-либо строки на число λ ≠ 0;
2) перестановка двух строк;
3) прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на число λ.
Элементарными преобразованиями второго рода называются аналогичные действия со столбцами. При элементарных преобразованиях ранг матрицы не изменяется.
С помощью элементарных преобразований первого рода любую матрицу можно привести к ступенчатому виду:

.
Всякий отличный от нуля минор матрицы, порядок которого равен рангу этой матрицы, называется базисным минором. В качестве базисных миноров матриц C ₁ и C ₂ можно соответственно взять миноры:
.
и ранги приведенных в примере матриц равны 3 (очевидно, что, если матрица приведена к ступенчатому виду, то ее ранг равен числу ненулевых строк).
Произвольную систему (1) можно исследовать с помощью теоремы Кронекера-Капелли. Из этой теоремы следует:
• если ранг матрицы коэффициентов A не равен рангу расширенной матрицы A ₁, то система (1) несовместна (нет решений);
• если ранг матрицы A равен рангу матрицы A ₁, то система (1) совместна. При этом если ранг матрицы A равен числу неизвестных n, то система является определенной, т.е. имеет единственное решение; а если ранг матрицы A меньше числа неизвестных n, то система – неопределенная, т.е. имеет бесконечное множество решений.
Рассмотрим метод решения неопределенной системы. Пусть ранг матрицы A равен r (r < n). Выделим произвольный базисный минор матрицы A. Элементы строки этого минора являются коэффициентами при r неизвестных в одном из уравнений системы (1). Эти r неизвестных назовем базисными неизвестными, остальные n - r неизвестных назовем свободными неизвестными. Выделим из системы (1) систему r уравнения, среди коэффициентов которых содержатся элементы базисного минора. Базисные неизвестные в выделенной системе оставим в левых частях уравнений, а члены, содержащие свободные неизвестные, перенесем вправо. Из полученной системы уравнений выразим базисные неизвестные через свободные неизвестные. Придавая свободным неизвестным произвольные значения, можно найти соответствующие значения базисных неизвестных.
Нахождение ранга матриц A и A ₁, и решение системы (1) удобно проводить одновременно. Заметим, что элементарные преобразования первого рода над расширенной матрицей A ₁ системы (1) приводят к новой системе уравнений, которая эквивалентна исходной. Элементарные преобразования второго рода над расширенной матрицей могут изменить как нумерацию неизвестных, так и их значения. Поэтому будем использовать лишь элементарные преобразования первого рода. Преобразовав расширенную матрицу к ступенчатому виду, определим ранги матрицы коэффициентов и расширенной матрицы. Запишем систему, соответствующую преобразованной матрице. Если система является определенной, из преобразованной системы неизвестные определяются последовательно, без труда. Если система неопределенная, оставляем в левой части ее лишь базисные неизвестные, а члены, содержащие свободные неизвестные переносим вправо. Из полученной системы базисные неизвестные определяют через свободные.