Решение матричного уравнения
Порядок выполнения работы:
1. Найти обратную матрицу A -1.
2. Провести контроль расчетов перемножением матриц А и A -1.
3. С помощью матрицы A -1 найти искомую матрицу X.
4. Провести найденное решение подстановкой матрицы X в исходное уравнение.
Литература
1. Высшая математика. Раздел: Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Учебное пособие по выполнению типовых расчетов. М., МИСиС, 1990, N 687, стр.9-16.
Решение матричных уравнений
Цель работы
1. Нахождение обратной матрицы.
2. Решение матричного уравнения c помощью обратной матрицы.
Теоретическое введение
Матрицей называется прямоугольная таблица чисел. При сложении матриц складываются их соответствующие элементы,а при умножения матрицы на число на него умножается каждый элемент этой матрицы.
.
| (1) |
Произведение матрицы A на матрицу B определено только в том случае, когда число столбцов матрицы A равно числу cтрок матрицы B. В результате умножения получается матрица C = A · B, у которой столько же строк, сколько в матрице A, и столько же столбцов, сколько в матрице B:
| Матрица | A | B | C = A·B |
| Число строк | m | n | m |
| Число столбцов | n | l | l |
Запишем матрицы A и B в виде
.
Обозначим элементы матрицы C = A · B через c, 
.
Тогда
.
По определению элемент ci j, матрицы C = A · B равен скалярному произведению i -й строки матрицы A (i – первый индекс элемента ci j) на j -й столбец матрицы B (j - второй индекс элемента ci j), т.е.
| ci j = (ai 1, ai 2,..., ai n) · (b1 j, b2 j,..., bn j) = ai 1 · b1 j + ai 2 · b2 j +...+ ai n · bn j | (2) |
Наряду с матрицей A будем рассматривать матрицу, столбцами которой являются строки матрицы A. Эту матрицу называют транспонированной к A и обозначают через AT.
Совокупность элементов a 11, a 22,..., an n, квадратной матрицы A = (ai j), n = m, называется главной диагональю матрицы.
Матрица, у которой моменты, стоящие на главной диагонали, равны единице, а все остальные равны нулю, называется единичной матрицей, и обозначается буквой E. Так, единичная матрица 3-го порядка имеет вид
.
Единичная матрица обладает замечательным свойством:
умножение квадратной матрицы любого порядка на соответствующую единичную не меняет исходную матрицу т.е. A · E = E · A = A. Это свойства и объясняет ее название.
Матрица A -1 называется обратной матрицей к квадратной матрице A, если
| A·A -1 = A -1· A = E | (3) |
Если определитель | A | квадратной матрицы A не равен нулю, то существует и, притом единственная, матрица A -1.
Правило нахождения обратной матрицы
Дополнительным минором Mi j к элементу ai j квадратной матрицы A n -го порядка называется определитель матрицы n - 1-го порядка, которая получается из матрицы A путем вычеркивания i -ой строки и j -го столбца (на пересечении которых стоит элемент ai j).
Алгебраическим дополнением Ai j, элемента ai j называется величина
Ai j = (-1) i+j· Mi j.
Через Av обозначим матрицу (называемую присоединенной к матрице A), элементами которой являются алгебраические дополнения Ai j:
Av = (Ai j); 
Тогда обратная матрица A -1 находится по формуле:
| (4) |
Для матрицы A третьего порядка (3х3) обратная матрица A -1 имеет вид:
.
В типовом расчете рассматриваются матричные уравнения двух типов: X · A = B и A · X = B, где A – квадратная матрица с | A | ≠ 0.
Рассмотрим сначала уравнение X · A = B. Умножим обе части этого уравнения справа на матрицу A -1, тогда по определению обратной матрицы уравнение X · A · A -1 = B · A -1 равносильно уравнению
| X · E = B · A -1 или X = B · A -1 | (5) |
Если в условии варианта дано уравнение A · X = B, то умножим обе части этого уравнения слева на матрицу A -1, тогда уравнение A -1 · A · X = A -1 · B равносильно уравнению
| E · X = A -1 · B или X = A -1 · B | (6) |
Содержание типового расчета
Заданы квадратная матрица A и прямоугольная матрица B. Решить матричное уравнение вида X · A = B или A · X = B, где X – искомая матрица. Конкретный вид уравнения задан в каждом варианте. Провести поэтапный контроль: расчета обратной матрицы A -1 умножением A на A -1; найденного решения X подстановкой в исходное уравнение.
