Правило нахождения обратной матрицы

Решение матричного уравнения

Порядок выполнения работы:

1. Найти обратную матрицу A ^-1.
2. Провести контроль расчетов перемножением матриц А и A ^-1.
3. С помощью матрицы A ^-1 найти искомую матрицу X.
4. Провести найденное решение подстановкой матрицы X в исходное уравнение.

Литература

1. Высшая математика. Раздел: Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Учебное пособие по выполнению типовых расчетов. М., МИСиС, 1990, N 687, стр.9-16.

 

Решение матричных уравнений

Цель работы

1. Нахождение обратной матрицы.
2. Решение матричного уравнения c помощью обратной матрицы.

 

Теоретическое введение

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел. При сложении матриц складываются их соответствующие элементы,а при умножения матрицы на число на него умножается каждый элемент этой матрицы.

.

 

(1)

Произведение матрицы A на матрицу B определено только в том случае, когда число столбцов матрицы A равно числу cтрок матрицы B. В результате умножения получается матрица C = A · B, у которой столько же строк, сколько в матрице A, и столько же столбцов, сколько в матрице B:

Матрица	A	B	C = A·B
Число строк	m	n	m
Число столбцов	n	l	l

Запишем матрицы A и B в виде

.
Обозначим элементы матрицы C = A · B через c, .
Тогда
.
По определению элемент c_{i j}, матрицы C = A · B равен скалярному произведению i -й строки матрицы A (i – первый индекс элемента c_{i j}) на j -й столбец матрицы B (j - второй индекс элемента c_{i j}), т.е.

ci j = (ai 1, ai 2,..., ai n) · (b1 j, b2 j,..., bn j) = ai 1 · b1 j + ai 2 · b2 j +...+ ai n · bn j

(2)

Наряду с матрицей A будем рассматривать матрицу, столбцами которой являются строки матрицы A. Эту матрицу называют транспонированной к A и обозначают через A^T.
Совокупность элементов a ₁₁, a ₂₂,..., a_{n n}, квадратной матрицы A = (a_{i j}), n = m, называется главной диагональю матрицы.
Матрица, у которой моменты, стоящие на главной диагонали, равны единице, а все остальные равны нулю, называется единичной матрицей, и обозначается буквой E. Так, единичная матрица 3-го порядка имеет вид
.
Единичная матрица обладает замечательным свойством:
умножение квадратной матрицы любого порядка на соответствующую единичную не меняет исходную матрицу т.е. A · E = E · A = A. Это свойства и объясняет ее название.
Матрица A ^-1 называется обратной матрицей к квадратной матрице A, если

A·A -1 = A -1· A = E

(3)

Если определитель | A | квадратной матрицы A не равен нулю, то существует и, притом единственная, матрица A ^-1.

Правило нахождения обратной матрицы

Дополнительным минором M_{i j} к элементу a_{i j} квадратной матрицы A n -го порядка называется определитель матрицы n - 1-го порядка, которая получается из матрицы A путем вычеркивания i -ой строки и j -го столбца (на пересечении которых стоит элемент a_{i j}).
Алгебраическим дополнением A_{i j}, элемента a_{i j} называется величина
A_{i j} = (-1) ^i+j· M_{i j}.
Через A^v обозначим матрицу (называемую присоединенной к матрице A), элементами которой являются алгебраические дополнения A_{i j}:
A^v = (A_{i j}); ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­
Тогда обратная матрица A ^-1 находится по формуле:

(4)

Для матрицы A третьего порядка (3х3) обратная матрица A ^-1 имеет вид:
.
В типовом расчете рассматриваются матричные уравнения двух типов: X · A = B и A · X = B, где A – квадратная матрица с | A | ≠ 0.
Рассмотрим сначала уравнение X · A = B. Умножим обе части этого уравнения справа на матрицу A ^-1, тогда по определению обратной матрицы уравнение X · A · A ^-1 = B · A ^-1 равносильно уравнению

X · E = B · A -1 ­ ­ ­ ­ ­ или ­ ­ ­ ­ ­ X = B · A -1

(5)

Если в условии варианта дано уравнение ­ A · X = B, ­ то умножим обе части этого уравнения слева на матрицу A ^-1, тогда уравнение ­ ­ A ^-1 · A · X = A ^-1 · B ­ ­равносильно уравнению

E · X = A -1 · B ­ ­ ­ ­ ­ или ­ ­ ­ ­ ­ X = A -1 · B

(6)

Содержание типового расчета

Заданы квадратная матрица A и прямоугольная матрица B. Решить матричное уравнение вида X · A = B или A · X = B, где X – искомая матрица. Конкретный вид уравнения задан в каждом варианте. Провести поэтапный контроль: расчета обратной матрицы A ^-1 умножением A на A ^-1; найденного решения X подстановкой в исходное уравнение.