Лекции.Орг


Поиск:




Категории:

Астрономия
Биология
География
Другие языки
Интернет
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Механика
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Транспорт
Физика
Философия
Финансы
Химия
Экология
Экономика
Электроника

 

 

 

 


Выполнение типового расчета




1. Найдем решение первой системы A 1 · X = B 1. Запишем систему в явном виде:

(2)

Запишем расширенную матрицу системы и будем делать элементарные преобразования со строками этой матрицы.
~ ~
На первом этапе преобразований в первом столбце, начиная со второй строки, получили, нули. Для этого использовали следующие элементарные преобразования: ко второй строке прибавили первую, к третьей и четвертой строкам прибавили первую, умноженную на (–3).
~ ~ ~
На втором этапе преобразований получили нули во втором столбце, начиная с третьей строки. Для этого к третьей строке прибавили вторую, умноженную на (–2), к четвертой cтроке прибавили вторую. Затем получили нули в третьем столбце четвертой строки, прибавив к четвертой строке третью. Для удобства дальнейших действий можно вынести из второй строки (–1) и из четвертой - (–2). Чтобы не изменился определитель матрицы A 1, который нам нужно вычислить, вынесенный коэффициент ставим перед матрицей:
.
Определитель матрицы, преобразованной к треугольному виду, равен произведению чисел, стоящих на главной диагонали. Это можно показать, если разложить определитель по первому столбцу, получившийся после этого определитель вновь разложить по первому столбцу и т.д.:

Тогда с учетом стоящего перед матрицей коэффициента, | A 1| = 6. Ранг матрицы A 1 равен 4, ранг расширенной матрицы также равен четырем, ледовательно, система имеет единственное решение.

Рассмотрим два метода нахождения решения.
Метод 1. По полученной матрице выпишем преобразованную систему:

из которой последовательно определим значения неизвестных: - (3; –3; –1; 3).
Метод 2. С помощью элементарных преобразований полученную треугольную матрицу коэффициентов приведем к диагональному виду, для этого к третьей строке прибавим четвертую строку, умноженную на 2, ко второй и к первой строкам прибавим четвертую строку. Тем самым в четвертом столбце выше единицы четвертой строки получим нули. Продолжая аналогичные действия, приведем матрицу коэффициентов к диагональному виду:
~ ~ ~ ~
Теперь, разделив первую строку на 3, получаем единичную матрицу коэффициентов
~ 3· .
В выделенном столбце находятся решения исходной системы уравнений, так как полученная расширенная матрица соответствует следующей системе:
x 1 = 3; ­ ­ ­ ­ ­ x 2 = –3; ­ ­ ­ ­ ­ x 3 = –1; ­ ­ ­ ­ ­ x 4 = 3.
Полученное решение необходимо проверить, т.е. подставить в исходную систему (2).
Это удобнее всего сделать, введя матрицу решения X 1 = ,
и умножая матрицу A 1 на X 1 справа. Если система решена верно, то результатом будет матрица B 1.
Действительно A 1 · X 1 = = B 1.

2. Запишем вторую систему A 2 · X = B 2 в явном виде:

По условию A 1 = A 2, т.е. вторая система отличается от первой только правыми частями, и главные определители у них равны, | A 1| = | A 2| = 6. Согласно теореме Крамера система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера: . Вычислим вспомогательные определители.
Определитель |Δ1| получается из главного определителя системы | A | заменой первого столбца на столбец правых частей:
; ­ ­ ­ ­ ­ .
Для вычисления этого определителя проведем предварительные преобразования. Преобразуем определитель |Δ1| так, чтобы в его первой строке на первом месте осталась единица, а на всех остальных местах нули. Для этого ко второму столбцу прибавим первый столбец, умноженный на (–2); к третьему – первый столбец, умноженный на (–1); к четвертому – первый столбец. А затем вычислим полученный определитель разложением его по первой строке:

Получившийся определитель третьего порядка также преобразуем. Вынесем из второго столбца 4, а затем с помощью второго столбца организуем нули на первом и третьем месте первой строки. Для этого к первому столбцу прибавим второй, умноженный на (–13); к третьему столбцу прибавим второй, умноженный на 7. Затем разложим полученный определитель по первой строке и, наконец, вычислим полученный определитель второго порядка:

Следовательно,
Определитель |Δ2| получается из главного определителя системы | A | заменой второго столбца на столбец правых частей:
| A | = 2| = .
Преобразуем определитель |Δ2| так, чтобы в его первом столбце на первом месте осталось число 3, а на всех остальных местах – нули. Для этого ко второй строке прибавим первую строку; к третьей – первую строку, умноженную на (–3); к четвертому – также первую строку, умноженную на (–3). А затем вычислим полученный определитель разложением его по первому столбцу:
2| =
Получившийся определитель третьего порядка преобразуем так, чтобы в третьем столбце на последнем месте стоял ноль. Для этого к третьей строке прибавим первую. Затем разложим полученный определитель по третьему столбцу и, наконец, вычислим полученный определитель второго порядка:

Следовательно, .
Определители |Δ3| и |Δ4| вычисляем аналогично, преобразуя и затем раскладывая по первому столбцу.


Откуда
Мы получили решение второй системы: или X 2 = .
Сделаем проверку. A 2· X 2 = = B 2.
Следовательно, система решена верно.

3. Проведем исследование третьей системы. Запишем систему A 3 · X = B 3 в явном виде:

(3)

Проведем необходимые элементарные преобразования над расширенной матрицей.

Определитель матрицы A 3 равен нулю, ранг матрицы A 3 равен 3 (одна нулевая строка в матрице ступенчатого вида), ранг расширенной матрицы равен 4 (нет нулевых строк). Так как ранги матрицы коэффициентов и расширенной матрицы не равны друг другу, то система (3) не имеет решения.

4. Рассмотрим четвертую систему. Запишем систему A 4 · X = B 4 в явном виде:

Проведем необходимые элементарные преобразования над расширенной матрицей:
.
Определитель матрицы A 4 равен нулю, ранг матрицы A 4 равен 2, ранг расширенной матрицы тоже равен 2. Так как ранги матриц равны, то система является совместной; ранг матрицы меньше числа неизвестных, следовательно, система является неопределенной. В преобразованной матрице жирным шрифтом выделен базисный минор. В качестве базисных неизвестных выберем x 1 и x 2 в, качестве свободных – x 3, x 4.
Перепишем полученную систему в виде

и введем x 3 = C 1 є R и x 4 = C 2 є R.
Окончательно получим x 1 = 3 – C 1 + C 2; ­ ­ ­ ­ ­ x 2 = 2 + C 1 + 2 C 2.
Решение неопределенной системы удобно записывать в векторном виде, выделяя фундаментальную систему решений однородной и частное решение неоднородной систем.

Частное решение неоднородной системы Фундаментальное решение однородной системы

Для проверки и здесь удобно воспользоваться умножением матрицы A 4 на матрицу X 4, образованную из указанных выше трех векторов.

В полученной матрице первый столбец должен соответствовать вектору правых частей системы B 4, а два других вектора должны быть нулевые, так как соответствующие решения являются решениями однородной системы уравнений.

Оформление отчета

В отчете по ТР должен быть представлены преобразования расширенных матриц каждой системы. Полученные решения должны быть проверены умножением матрицы коэффициентов на матрицу решений. В конце работы необходимо выписать общий ответ по следующему образцу:
1. Системы 1 и 2 – совместные, определенные.
| A 1| = 6; ­ ­ ­ ­ ­ r (A 1) = r (A 1 | B 1) = r (A 1 | B 2) = 4; ­ ­ ­ ­ ­ .
2. Система 3 – несовместная.
| A 3| = 0; ­ ­ ­ ­ ­ r (A 3) = 3; ­ ­ ­ ­ ­ r (A 3 | B 3) = 4.
3. Система 4 – совместная, неопределенная.
| A 4| = 0; ­ ­ ­ ­ ­ r (A 4) = r (A 4 | B 4) = 2; ­ ­ ­ ­ ­ .

 

 





Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2016-10-30; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 482 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

В моем словаре нет слова «невозможно». © Наполеон Бонапарт
==> читать все изречения...

2187 - | 2150 -


© 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.008 с.