Дифференциальное уравнение теплопроводности

Для решения практических задач по переносу тепла теплопроводностью помимо закона Фурье необходимо знать распределение температур в пространстве и во времени, так как .

С этой целью в однородном и изотропном твердом теле выделяется бесконечно малый прямоугольный параллелепипед с гранями dx, dy, dz и постоянной плотностью r, удельной теплоемкостью и коэффициентом теплопроводности l. Поток тепла, проходящий через этот параллелепипед (рис. 7.2), можно разложить на три составляющие в направлениях осей координат.

Рисунок 7.2 – К выводу дифференциального уравнения теплопроводности

Согласно закону Фурье в направлении оси x за промежуток времени к грани dydz параллелепипеда подводится количество тепла.

. (7.17)

Через противоположную грань параллелепипеда, находящуюся на расстоянии dx, выходит в направлении оси х тепло :

, (7.18)

либо

,

так как температура на противоположной грани равна .

Следовательно, изменение количества тепла (приращение или убыль) в параллелепипеде по направлению оси х составит:

(7.19)

либо

,

где – объем параллелепипеда.

Аналогично выразятся изменения количеств тепла в параллелепипеде по направлению осей у и z:

; . (7.20)

Полное изменение тепла в объеме параллелепипеда составит:

. (7.21)

Поток тепла приводит к изменению температуры параллелепипеда на величину , что влечет за собой изменение теплосодержания параллелепипеда за время :

. (7.22)

Из уравнений (7.21) и (7.22) следует:

, (7.23)

либо .

Здесь множитель a – коэффициент температуропроводности (см. подразд. 7.2).

Полученное уравнение (7.23) является дифференциальным уравнением теплопроводности Фурье, представляющим распределение температур во времени и пространстве при неустановившемся процессе.

При установившемся процессе теплопроводности , тогда

. (7.24)

Таким образом, дифференциальное уравнение теплопроводности дает возможность решать задачи как при установившемся, так и при неустановившемся тепловом потоке.

Однако (7.23) и (7.24) определяют передачу тепла теплопроводностью в самом общем виде, без учета формы тела, через которое проводится тепло, его свойств и свойств окружающей среды. При решении конкретных задач эти уравнения дополняются условиями однозначности или краевыми условиями.

Условия однозначности включают в себя:

1) геометрические параметры, характеризующие форму и линейные размеры тела, в котором протекает процесс;

2) физические параметры, описывающие физические свойства среды и тела (λ, с,ρи т.д.);

3) временные или начальные условия, характеризуют распределение температур в рассматриваемом теле в начальный момент времени;

4) граничные условия, описывающие взаимодействие данного тела с окружающей средой.

Начальные условия необходимы при рассмотрении нестационарных процессов и состоят в задании закона распределения температуры внутри тела в начальный момент времени. В общем случае этот закон может быть записан в виде: , так как .

При равномерном распределении температуры в теле при , .

Граничные условия могут быть заданы несколькими способами.

1. Задается распределение температуры по поверхности тела для каждого момента времени (граничные условия первого рода): .

В частном случае, когда температура на поверхности является постоянной на протяжении всего времени протекания процесса теплообмена, последняя зависимость упрощается до вида .

2. Задаются значения теплового потока для каждой точки поверхности тела в любой момент времени (граничные условия второго рода). Аналитически это можно представить таким образом: , где – плотность теплового потока на поверхности тела.

В простейшем случае плотность теплового потока на поверхности и во времени остается постоянной: .

3. Задаются температура окружающей среды t _ср и закон теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой (граничные условия третьего рода). Это граничное условие характеризует закон теплообмена между поверхностью и окружающей средой в процессе охлаждения и нагревания тела.

Процесс теплообмена между поверхностью тела и средой относится к очень сложным процессам и зависит от большого количества параметров. Подробно эти вопросы будут рассмотрены в дальнейшем.

Дифференциальное уравнение теплопроводности (7.23) с заданными условиями однозначности дает полное математическое описание краевой задачи теплопроводности. Поставленная таким образом задача разрешается аналитическим, численным или экспериментальным методом. В случае экспериментального решения задач теплопроводности используют методы физического или математического моделирования.

В инженерной практике часто приходится решать задачи стационарной теплопроводности через плоскую, цилиндрическую и сферическую стенки. К этим задачам, в частности, относится расчет тепловой изоляции аппаратов и трубопроводов.