Рисунок 7.16 – Изменение скорости в гидродинамическом пограничном слое
|
Как известно, в результате действия сил вязкости у твердой поверхности образуется тонкий слой заторможенной жидкости (гидродинамический пограничный слой), в пределах которого скорость изменяется от 0 до скорости невозмущенного потока w 0 (рис. 7.16). Внутри пограничного слоя 
и 
, за пределами этого слоя 
и 
.
Толщину пограничного слоя 
можно представить как расстояние от поверхности, на котором скорость будет отличаться от скорости потока вдали от границы на определенную, заранее заданную малую величину 
:
при 
.
Во внешнем потоке преобладают силы инерции, в пограничном слое силы инерции и вязкости соизмеримы. Тогда система дифференциальных уравнений, описывающих стационарное поле скоростей при омывании плоской пластины, бесконечной в направлении оси z, будет иметь вид:
; (7.135)
, (7.136)
а уравнение сплошности
. (7.137)
Ввиду малой толщины пограничного слоя можно принять 
. Кроме того, если принять, что во внешнем потоке w 0 = const, то из уравнения Бернулли 
следует, что во внешнем потоке давление не изменяется, т.е. 
.
Так как для пограничного слоя 
, а во внешнем потоке , то внутри пограничного слоя в рассматриваемом случае 
также равно нулю.
Для оценки порядка величин членов дифференциальных уравнений(7.135)–(7.137) выбраны масштабы предельной координаты l, порядок которой обозначен через o, и поперечной координаты у, порядок которой . Порядок величины wx оценивается как w o. Тогда
.
Согласно уравнению сплошности (7.137), порядок производных 
и 
одинаков, отсюда
.
Порядок величины wy можно оценить как
.
Оценка отдельных членов инерционной (конвективной) и вязкостных частей уравнений движения в проекциях на ось х приводит к выражениям:
;
;
;
.
Из этой оценки следует, что порядок отдельных слагаемых инерционной части одинаков и равен 
.
Отношение вязкостных членов дает:
.
Для пограничного слоя 
, отсюда 
.
Следовательно, последней производной можно пренебречь. Тогда уравнение движения в проекциях на ось х может быть записано в следующем виде:
. (7.138)
Порядок левой части этого уравнения равен 
, правой – 
, приравнивая их, получим
или 
, (7.139)
где 
– число Рейнольдса, характеризующее соотношения сил инерции и сил вязкости.
Если Re<<1, то 
, т.е. 
. В этом случае нет разделения потока на две области, все пространство жидкости у тела охвачено действием сил вязкости.
Если Re >>1, то 
, т.е. у поверхности тела образуется сравнительно тонкий слой подторможенной жидкости.
Таким образом, теория пограничного слоя приобретает характер метода упрощения математической формулировки краевой задачи и связанной с этим возможности решения.
Аналогичная оценка порядка величин, входящих в уравнение движения в проекциях на ось у, показывает, что члены этого уравнения малы и поэтому для пограничного слоя оно может быть опущено. Тогда для плоского безградиентного стационарного течения вязкой жидкости в пограничном слое у плоской поверхности
; (7.140)
. (7.141)
Внутри теплового пограничного слоя 
, а на внешней границе и вне его 
и t = t 0 (рис. 7.17).
Толщины гидродинамического (d) и теплового (
) пограничных слоев, как уже указывалось ранее, в общем случае не совпадают, что зависит от рода жидкости и некоторых параметров процесса течения и теплообмена. Можно предположить, что они одного порядка: k = 0(d). В связи с малой толщиной k теплового пограничного слоя можно пренебречь теплопроводностью вдоль него по сравнению с поперечным переносом теплоты, т.е. принять, что
Рисунок 7.17 – Изменение температуры в тепловом погтраничном слое
|
(
,т.к. 
).
Тогда уравнение энергии принимает вид
. (7.142)
Однако следует отметить, что система полученных дифференциальных уравнений (7.140)–(7.142) описывает теплообмен только в ламинарном пограничном слое. Турбулентное течение существенно отличается от ламинарного (см. рис. 7.10). Произведя некоторые преобразования и выдвинув дополнительные гипотезы, можно получить систему дифференциальных уравнений, описывающих в первом приближении осредненное турбулентное течение и теплообмен, но в достаточно строгой постановке этот вопрос до конца не разрешен.
Рисунок 7.18 – Мгновенное значение скорости в плоском турбулентном потоке
|
При рассмотрении качественной стороны явления переноса энергии в турбулентном потоке можно выделить условную контрольную поверхность А – А, расположенную параллельно плоскости X–Z (рис. 7.18).
В любой фиксированной точке В, расположенной вблизи поверхности А-А, в некоторый момент времени 
скорость турбулентного потока имеет компоненты wx и wy. Температура жидкости в этой точке равна t. За время 
в направлении оси у через единицу контрольной поверхности проходит масса жидкости 
(кг/м2), а относительно оси х – количество движения 
и соответственно энтальпия 
. В следующий момент времени компоненты скорости могут быть другими. Среднеинтегральное значения параметров потока могут быть определены на основе следующих свойств среднеинтегрального осреднения меняющихся во времени величин 
и 
:
; 
; 
;
.
Осредняя 
, получим
.
Отсюда 
. Однако 
, что следует из уравнения 
.
Таким образом, среднеинтегральное значение плотности теплового потока qу (Дж/м2·с), переносимого в направлении оси у за единицу времени через единицу контрольной поверхности, будет
. (7.143)
Величину 
можно представить в виде
(7.144)
Среднеинтегральное значение количества движения 
относительно оси х, переносимое в направлении оси у за единицу времени через единицу поверхности, можно получить аналогично:
. (7.145)
Итак, конвективный перенос тепла и импульса складывается из осредненного и пульсационного (турбулентного) переноса q т и s т.
;
.
В общем случае q т и s т не равны нулю; в определенных областях турбулентного потока, омывающего твердое тело, q т и s т могут принимать большие значения.
Рассмотрим течение около стенки на некотором удалении от нее, при этом осредненные значения скорости и температуры изменяются только в направлении оси у (рис. 7.19).
Рисунок 7.19 – К выводу уравнений осредненного турбулентного переноса теплоты и количества движения
|
Предположим, что за счет пульсаций 
из слоя у 1 в слой у 2 переносится энтальпия сpt (y 1), где t (y 1) – осредненное значение температуры при у = у 1. Плоскости у 1 и у 2 параллельны плоскости xz. Разность энтальпий ср [ t (y 1) – t (y 2)] равна переносимой теплоте на расстоянии 
. На длине 
пульсация не распадается, не диссипирует. Распад пульсационного движения при у = у 2 приводит к передаче энтальпии слою у 2 и пульсации температуры 
(так как 
фиксирована). Параметр называют длиной пути смешения, эта величина не является постоянной в турбулентном движении.
Разность 
можно представить следующим образом, используя разложение в ряд:
Тогда для пульсационного переноса теплоты можно записать:
. (7.147)
Аналогично для переноса количества движения
. (7.148)
Таким образом, величины q ти s т пропорциональны производным 
и 
. Учитывая это, последние уравнения могут быть записаны как определения в виде:
; (7.149)
, (7.150)
где 
и 
– коэффициенты турбулентного переноса теплоты и количества движения соответственно; 
, 
– кинематические коэффициенты переноса теплоты и количества движения.
Коэффициенты и не являются физическими параметрами среды, а зависят от параметров процесса.
Теплота и количество движения в направлении оси у переносятся также и молекулярным механизмом. В результате
; (7.151)
.
На стенке: у = 0, 
, 
, 
. Вдали от стенки: – 
и 
. Таким образом, при записи уравнений в осредненных значениях скорости и температуры следует учитывать и турбулентный (пульсационный) перенос теплоты и количества движения.
Для турбулентного пограничного слоя при принятых ранее ограничениях уравнения энергии (7.142), движения (7.140) и сплошности (7.141) могут быть записаны в следующем виде:
; (7.152)
; (7.153)
. (7.154)
Полагают, что и зависят от тех же факторов (переменных), от которых зависят поля осредненных скорости и температуры. Для замыкания системы дифференциальных уравнений (7.152)–(7.154) необходимо добавить уравнения, характеризующие связь и с этими переменными.
Предложено много способов, позволяющих в первом приближении замкнуть эту систему дифференциальных уравнений. Ниже приводится один из наиболее простых.
Ранее было показано, что
, или 
.
Пульсационная скорость 
. Примем 
.
Тогда 
.
Введя коэффициент пропорциональности l, получим
. (7.155)
Величина l – длина пути смешения, пропорциональная ; иногда ее называют масштабом турбулентности.
При фиксированном значении 
касательное напряжение турбулентного трения s т пропорционально l 2.
Сравнивая уравнения (7.148) и (7.155), получим
. (7.156)
С учетом последнего выражения уравнение (7.147) может быть представлено в виде
. (7.157)
Последние выражения были предложены Л. Прандтлем. Согласно им в представленной области масштаб турбулентности (как и турбулентный перенос количества движения и теплоты) должен уменьшаться по мере приближения к стенке:
,
где 
.
Таким образом, в первом приближении задача замкнута, значения 
и 
(или 
и 
) определены:
. (7.158)
Равенство (7.158) показывает, что существует аналогия между переносом количества движения и переносом теплоты, т.е. одни и те же объемы жидкости, участвуя в пульсационном движении, переносят одновременно количество движения и теплоту и не взаимодействуют на пути с окружающей средой. В действительности пульсационный перенос может сопровождаться теплообменом, может быть связан с диссипацией механической энергии из-за вязкости жидкости. Это заставляет вносить коррективы и вводить для описания переноса количества движения и теплоты различные значения l.
Несмотря на незавершенность описанной теории турбулентного пограничного слоя, она может быть использована для решения ряда практических задач.
Так, полученные выводы позволили решить задачу о профиле скоростей в пристенной области и ядре потока.
Для пристенной области профиль осредненной скорости является функцией следующих переменных:
,
где s 0 – касательное напряжение на стенке; для тонкого слоя у стенки s 0= s.
В случае 
касательное напряжение s
; 
.
Разделив переменные и проинтегрировав последнее равенство, получим
или 
.
Здесь 
– динамическая скорость.
Для турбулентной области
, ,
тогда 
.
Если ввести безразмерные переменные
и 
,
то 
.
Проинтегрировав последнее уравнение, получим
. (7.159)
Следовательно, профиль скоростей в пристенной области носит логарифмический характер. Этот вывод был подтвержден экспериментально Никурадзе. Полный универсальный профиль скоростей описывается им следующей системой уравнений:
в ламинарном подслое (у* <5) 
;
в промежуточном слое (5< y* <30) 
; (7.160)
в турбулентном ядре (y* >30) 
.
Выводы из описанной теории пограничного слоя позволили также связать теплоотдачу и гидравлическое сопротивление.
Согласно приведенным ранее соотношениям для касательного напряжения и теплового потока
;
, 
.
Либо
. (7.161)
Проинтегрировав это уравнение применительно к трубе в пределах от стенки до оси трубы, получим
, (7.162)
где w 0, t 0 – скорость и температура в ядре потока, t cт – температура стенки;
; 
,
тогда равенство (7.162) можно представить в виде
. (7.163)
При турбулентном режиме профиль скорости в ядре потока плоский. С учетом подобия такой же профиль можно принять и для температурного потока. Отсюда следует, что w 0 и t 0 мало отличаются от среднерасходной скорости w и среднемассовой температуры tm. Используя замену 
на 
, можно записать
.
Отсюда
. (7.164)
Полученное уравнение (7.164) позволяет рассчитать коэффициент теплоотдачи 
через коэффициент гидравлического сопротивления f. Эта зависимость справедлива при 
.
Теплопередача
Одним из наиболее распространенных на практике видов сложного теплообмена является перенос тепла от одного теплоносителя к другому через разделяющую их стенку. В этом случае тепло от одного теплоносителя к стенке и от стенки к другому теплоносителю передается конвекцией (теплоотдачей), а через стенку – теплопроводностью. Такой способ переноса тепла получил название теплопередачи, а стенка – поверхности теплопередачи.
