рассмотрим следующую задачу, называемую задачей вогнутого программирования: найти точку глобального максимума вогнутой функции f (x) на выпуклом множестве Р Ì Rn , заданном системой неравенств:
ó g1(x)³0,
î ……….
ì g s(x)³0
ì g s(x)³0
î x³0
где g1(х),…, g s(x) – вогнутые функции. для решения вводят функцию Лагранжа F(x,l)= f (x)+l1 g1(x)+…+l s g s(x), где l=(l1,…,l s) – вектор множителей Лагранжа. Предположим, что все функции дифференциируемы и существует точка х³0, для которой все тривиальные неравенства из системы уравнений строгие. Точка х*³0 является точкой глобального максимума f (x) на Р в том случае, когда существует вектор l*=(l*1,…,l*s)³0, такой, что выполняются условия:
gradxF(x*, l*)£0;
(gradxF(x*, l*);х*)=0
gradlF(x*, l*)³0
(gradlF(x*, l*);l*)=0
Эти условия означают, что точка (x*, l*) является седловой точкой функции F(x, l), т.е. F(x, l*)£ F(x*, l*)£ F(x*, l)
Числове и функциональные ряды.
Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости. Действия с рядами.
Числовым рядом наз-ся бесконечная последовательность чисел, соединенная знаком сложения: а1+а2+…+ак +…=∑к=1∞ак.
Где а1,…,ак- члены числового ряда
Введем след. Обозначения: Sк = ∑к=1каi = а1+а2+…+ак - n-ая частичная сумма числового ряда: к=1, то Sк=а1,к=2, то Sк=а1+а2,…к: Sк = а1+а2+…+ак, т.е. видно, что частичная сумма образует числ. Последовательность.
Числ ряд наз сходящимся, и его сумма в этом случае будет равна S, если сущ-т конечные предел последовательности частичных сумм, котрый равен S: LimSk=S, k→∞. В противном случае числ ряд расходится.
Св-ва сходящихся числ. Рядов.
Рассмотрим 2 числ ряда:
а1+а2+…+ак +…=∑к=1∞ак. (1)
в1+в2+…+вк +…=∑к=1∞вк (2)
Опр.
1). Суммой этих рядов наз ряд. Каждый член которого равен сумме соответствующих членов рядов (1) и (2).
2) Ряд, каждый член которого равен произведению соответствующего члена ряда (1) на одно и то же действительное число, наз произведением ряда на действительное число λ.
Св-ва.
1)Если ряд (2) сходится, и его сумма равна S, тогда произведение этого ряда на действительное число также сходится, и его сумма будет равна λS.
Док-во: Пусть Sk- частичная сумма ряда (2), sk - частичная сумма ряда λ в1+ λ в2+…+λ вк +…, ясно, что λ Sk = sk. Переходя к пределу, получим:
Lim sk=lim λSk= λlimSk= λS(k→∞)
2)Если ряды (1) и (2) сходятся, и их суммы соответственно равны S, S’, то ряд из определения 1) (назовем его (3)) также сходится, а его сумма будет равна S+S’.
Док-во: Qk=Sk+Tk, где Qk, Sk,Tk – сответственно частич суммы рядо (1), (2), (3). Переходя к пределу при k→∞, получаем, что сущ-т LimQk и Q=S+T
3)Если ряд сходится, то ряд, полученный из данного путем отбрасывания или приписывания конечного числа членов также сходится.
Док-во: Рассмотрим, когда отбрасывают первые n членов. Оставшийся ряд аn+1 +аn+2+… наз остатком исходного ряда (1). Пусть Сn- сумма первых n членов, Sk -частичная сумма исх. Ряда,S’k - частичная сумма остатка, при k>n:
Sk = Cn+S’k
Если сущ-т предел lim Sk k→∞, то сущ-т и предел lim S’k и наоборот. В частности, выполняется равенство: S=S’+Cn
4)Если ряд (1) сходится, то сходится и любой ряд. Полученный из него группировкой слагаемых, причем суммы обоих рядов одинаковы.
Необходимое усл-е сходимости.
Теорема. Если ряд (1) сходится, то предел его общего члена при к →∞ равен 0. lim ak=0
Док-во.
1){Sk=a1+a2+…+ak
{Sk-1=a1+a2+…+ak-1, значит ак=Sk-Sk-1
2)Поскольку ряд сходится, то lim Sk = S, k→∞
3) k→∞: lim ak= lim Sk- lim Sk-1 = S- lim Sk-1= S-S=0 ((k-1)→∞)
Следствие: если lim ak≠0 или не сущ-т, то ряд расходится.
Сформулированный признак явл. необходимым усл-м и не явл достаточным, чтобы ряд сходился.
Ряды с неотрицательными членами. Признаки сходимости (сравнения, Даламбера, интегральный)
Пусть a1 + a2 + … + an + = n=1S¥ an = Sn – числовой ряд, каждый член которого положителен. Такой ряд называется рядом с положительными членами или просто положительным числовым рядом.
S1 = a1 > 0, S2 = a1 + a2> 0, {Sn}- возрастающая числовая последовательность
Признаки сходимости положительных числовых рядов.
Для того, чтобы положительный ряд сходился необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частных сумм была ограничена.
Признаки сравнения
Пусть заданы два положительных числовых ряда:
u1 + u2 + … + un + = n=1S¥ un, un > 0 для " n
v1 + v2 + … + vn + = n=1S¥ vn, vn > 0 для " n
1) Если "n Î N: un £ vn и ряд n=1S¥ vn – сходится, то и ряд n=1S¥ un – сходится.
Если "n Î N: un £ vn и ряд n=1S¥ un – расходится, то и ряд n=1S¥ vn – расходится.
2) Если $ lim un/vn = k, то ряды либо одновременно сходятся, либо
n ® ¥ k = const
одновременно расходятся.
Признак сходимости Даламбера.
Если n=1S¥ un – положительный ряд, для которого lim un+1/un = L, то
n ® ¥
1) при L < 1 ряд сходится
2) при L > 1 ряд расходится
3) при L = 1 необходимы дополнительные исследования.
Интегральный признак сходимости.
Теорема. Пусть n=1S¥un - положительный ряд, для которого 1) un= f(n); 2) y = f(x) определена для " x ³ 1, непрерывна и возрастает, тогда ряд сходится, если сходится несобственный интеграл 1∫+¥f(x)dx, причем если он сходится, то
n=1S¥ un = 1∫+¥f(x)dx
