Пусть A и В – два случайных события по отношению к некоторому опыту s, причём р(В) не равно нулю. Число р(АВ)/р(В) называется вероятностью события А при условии, что наступило событие В, или просто условной вероятностью события А. Таким образом рв(А) = р(АВ)/р(В). Пусть N – общее число экспериментов, NB - число экспериментов, в которых имело место событие В. NАВ – Число экспериментов, в которых имели место события А и В одновременно. Отношение NАВ/NB – частота события А при условии, что наступило событие В.
р(АВ)=рВ(А)р(В) – Вероятность произведения двух событий равна вероятности одного из этих событий при условии другого, умноженной на вероятность самого условия. Аналогичная формула справедлива для трёх событий. р(А1А2А3)=р(А1)рА1(А2)рА1А2(А3)
А не зависит от В, если выполняется равенство рВ(А)=р(А). Наступление В не оказывает влияния на наступление события А.
Правило умножения вероятностей - Если событие А не зависит от В, то справедливо равенство р(АВ)=р(А)р(В). (веростность произведения равна произведению вероятностей)
Формула полной вероятности. Формула Байеса
Если события Н1, Н2,…,Нn попарно несовместны и образуют полную группу, то для вероятности любого события А справедлива формула р(А)=рН1(А1)р(Н1)+рН2(А)р(Н2)+…+рHn(А)р(Нn). Вероятность события А равна сумме произведений условных вероятностей этого события по каждой из гипотез на вероятность самих гипотез.
Формула Байеса. (условие – событие А может наступить только с одной из гипотез). Эта формула определяет вероятность, что имела место именно эта гипотеза.
Вывод формулы.
p(AHi)=pHi(A)p(Hi)
p(HiA)=pA(Hi)p(A) приравниваем правые части, получим
pHi(A)p(Hi)=pA(Hi)p(A) воспользуемся формулой полной вероятности.
pA(Hi)= рHi(A)p(Hi).
рН1(А1)р(Н1)+рН2(А)р(Н2)+…+рHn(А)р(Нn)
Дискретная СВ и ее закон распределения.
Величина, принимающая в результате испытания (опыта) определенное значение, называется случайной величиной. СВ Х называется дискретной, если существует конечное и счетное множество S={х1, х2,…} такое, что Р(ХÎS)=1. Числа х1, х2,…называются возможными значениями СВ Х.
Пусть рi=Р(Х=хi) – вероятность возможного i-го значения. При хi ≠ хj события Х=хi и Х= хj несовместны. Применяя правило сложения вероятностей для несовместных событий получим:
Таблица
| Х | х1 | х2 | … |
| Р | р1 | р2 | … |
называется законом распределения дискретной СВ Х. Для любой СВ функция распределения – F(x)=P(X<x). В случае дискретной СВ функция распределения имеет вид
F(x) – ступенчатая функция со скачками в х1, х2,…, причем величины скачков равны р1, р2,…
Числовые хар-ки СДВ.
Математическим ожиданием дискретной СВ Х, множество возможных значений которой конечно, называется сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности: М(Х)=х1р1+х2р2+…+хnpn
Свойства. 1.Матем. ожидание константы равно константе: М(С)=С
2.Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: М(СХ)=СМ(Х)
3.Математическое ожидание суммы СВ равно сумме мат. ожиданий слагаемых:
М(Х1+Х2+…+Хn)=M(X1)+M(X2)+…+M(Xn)
4.Математическое ожидание произведений независимых СВ равно произведению математических ожиданий сомножителей. (дискр.СВ наз. независимыми, если Р(Х1=а1,…Хn=an)=P(X1=a1)*…Р(Xn=an).
Для любой СВ Х разность Х-М(Х) называется отклонением Х. Математическое ожидание квадрата отклонения СВ Х называется дисперсией Х. По определению D(X)=M(X-M(X))2.
Стандартное отклонение СВ Х определяется как корень квадратный из дисперсии и обозначается s(х). Из свойств математического ожидания: D(X)=M(X2)-M(X)2
Свойства. 1.Прибавление (вычитание) константы к СВ не меняет ее дисперсии D(X+C)=D(X)
2.Постоянный множитель выносится из-под знака дисперсии в квадрате D(СX)=С2D(X)
3.Дисперсия суммы независимых СВ равна сумме дисперсий слагаемых D(X1+…+Xn)=D(X1)+…+ D(Xn)
Важно помнить, что дисперсия константы равна 0: D(C)=0
Начальным моментом порядка К СВ Х называют математическое ожидание величины Хк: nк=М(Хк)
Центральным моментом порядка к случайной величины Х называют математическое ожидание величины (Х-М(Х)) к
mк=М[(X-M(X)) к]
Cоотношение, связывающее начальные и центральные моменты: m2=n2-n12
При изучении распределений, отличных от нормального, возникает необходимость количественно оценить это различие. С этой целью вводят специальные характеристики – асимметрию и эксцесс (для нормального распределения эти характеристики равны 0). Асимметрией теоретического распределения (теоретическим называют распределение вероятностей) называют отношение центрального момента третьего порядка к кубу среднего квадратического отклонения: Аs=m3\s3
Эксцессом теоретического распределения называют характеристику, которая определяется следующим равенством: Ек=(m4\s4)-3
