Комплексное число представляется в виде a+b*i, где а – действительная часть числа, i – мнимая единица (поясняю: мнимая единица – единица, квадрат которой равен «-1»).
Если суммы действительных(Sаn) и мнимых (Sbni) частей комплексных чисел сходятся, то сходится и весь ряд комплексных чисел. (аналогичны и остальные определения.)
7. Свойства правильно сходящихся рядов: непрерывность суммы ряда, почленное дифференцирование и интегрирование. (!!предполагается равномерно сход=правильно сход).
Функция S(x),хÎW является суммой ряда, если S(x) =lim n→∞ S(x), где S(x)= f 1(x)+ f 2(x)+…+ fn (x)
Если S(x), х ÎL (LÍΩ) является суммой ряда f 1(x)+ f 2(x)+…+ fn (x)+…=n=1∑ ∞ fn (x) (функциональный ряд), то говорят, что рядсходится на множестве L функции S(x).
Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве L к функции S(x), если для любого числа e>0 существует номер N такой, что при n³N cразу для всех хÎL выполняется неравенство ½S(x) -S n (x)½<e
Если функциональный ряд сходится на множестве L, то на этом множестве сходимость не обязана быть равномерной, однако на некотором подмножестве
множества L сходимость может оказаться уже равномерной.
Признак равномерной сходимости Вейерштрасса.
Если члены функционального ряда f 1(x)+ f 2(x)+…+ fn (x)+… удовлетворяют на множестве L неравенством ½ fn (x)½≤Сn (n=1,2…), где Сn – члены сходящегося числовогоряда С1+С2+…+ Сn+… то функциональный ряд сходится на множестве L равномерно.
Свойства:
Если функции fn (x) непрерывны на [a,b], составленный из них ряд f 1(x)+ f 2(x)+…+ fn (x)+…, то
1.Функция f (x) на [a,b] непрерывна
2. a∫ b f (x)dx=. a∫ b f 1(x)dx+…+. a∫ b fn (x) dx+…
Если fn (x) имеют непрерывную производную на [a,b] и на этом отрезке
а)ряд f 1(x)+ f 2(x)+…+ fn (x)+… сходится к f (x)
б)ряд f 1 ' (x)+ f 2 ' (x)+…+ fn' (x)+… сходится равномерно, то f (x) имеет на этом отрезке непрерывную производную f ' (x)= f 1 ' (x)+ f 2 ' (x)+…+ fn' (x)+…
Степенные ряды.
Опр. Выражение вида а0+а1х+а2х2+…+акхк+…, (*)
где а0, а1,а2,… - некоторая числовая последовательность наз степенным рядом.
а0,а1,а2,…- коэффициенты степенного ряда.
Если х придавать числовые значения, то будем получать числ. Ряды, которые могут сходиться и расходиться. Множество Х, при которых ряд (*) сходится, называется областью сходимости.
Теорема Абеля.
1)Если ряд (*) сходится в некоторой точке х0≠0, то этот ряд будет сходится и при всех х, удовлетворяющих условию: |х|<|х0|.
2)Если ряд (*) расходится в т. х1≠0, то этот ряд расходится при всех x: |х|>|х1|.
Док-во.1). По усл степенной ряд а0+а1х0+а2х02+…+акх0к+…(**) сходится, поэтому акх0к →0, при к→∞. Значит, сходящаяся последовательность {акх0к}
ограничена, т.е. сущ-т константа М такая, что |акх0к|<M для всех к=0,1,2…
Рассмотрим |а0|+|а1х0|+|а2х02|+…+|акх0к|+….(***)
Пусть |х|<|х0|, тогда |акхк|=|акх0к||х/х0|<М|х/х0|к, причем |х/х0|<1. Поэтому члены ряда (***) не превосходят соответствующих членов сходящегося ряда
М+М|х/х0|+М|х/х0|2+…+М|х/х0|к+…- суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Поэтому ряд (***) сходится, а ряд (**) сходится абсолютно.
2)Предположим, что ряд(**) расходится при х=х1, но для некоторого х:| х |>х1 По первой части теоремы ряд (**) сходится абсолютно при х=х1, следовательно получили противоречие.
