Наибольшее значение достигается в некоторой точке х0Î [a,b]. При этом возможны лишь следущие 3 случая: 1) х0=а, 2) х0=b, 3)х0Î(a,b). Пусть х0Î(a,b). Тогда х0 – точка локального экструмума и, если существует f¢(x0), f¢(x0)=0. Однако производная f¢(x0) может и не существовать.
Критической точкой функции f(x) называется точка, в которой производная f¢(x) либо не существует, либо равна нулю.
Из определения вытекает, что точка локалького экстремума x0 является критической точкой функции f(x). Предположим, что критические точки функции f(x) на интервале (a; b) образуют конечное множество {x1,x2, …,xn}. Из сказанного выше следует, что точка x0, в которой функция принимает наибольшее (или наименьшее) значение, совпадает с одной из точек: a,b,x1,…xn. Поэтому для максимального значения функции f(x) на отрезке [a,b] имеем равенство fmax=max{f(a),f(b),f(x1),…f(xn)}. Аналогично для минимального значения fmin=min { f(a),f(b),f(x1),…f(xn)}.
18. Общая схема исследования функции и построения ее графика.
1. Область определения функции, поведение функции на границе области определения. Асимптоты. Точки пересечения с осями.
(Справка: для нахождения асимптот рассматриваем односторонние пределы (вертикальная асимптота), и пределы при х→∞ для выражений f (x)/х (предел равен к) и f (x)-кх (b) (наклонная асимптота у=кх+b). Подробнее вопр.1.3.
2. Четность, нечетность. Периодичность.
(справка: четная f (-x)= f (x); нечетная f (-x)=- f (x). Периодичность f (x+Т)= f (x)= f (x-Т))
3. Монотонность и экстремумы. (Функции, убывающие или возрастающие на некотором числовом промежутке, называются монотонными. Находим производную, критические точки. промежутки возрастания и убывания, точки максимума и минимума).
4.Выпуклость, вогнутость, точки перегиба. (Для этого находим вторую производную, точки перегиба, распределяем знаки второй производной: -вогнутая, +выпуклая)
5.График функции с обозначением всех найденных точек и асимптот.
Теорема Ферма
Пусть ф-я у = f(x) определена в некотором промежутке [a;b] и во внутренней точке этого промежутка спринимает наибольшее или наименьшее значение. Если в этой точке существует конечная производная, то она = 0.
С ¹ a, с ¹ b, f(c) – max. Докажем, что f'(c) = 0.
Т.к. f(c) - max, то для всех точек f(x) £ f(c) при xÎ[a;b]
f(x) - f(c) £ 0
Т.к. по условию теоремы в точке с ф-я f имеет производную, то можно рассмотреть производную f'(c) = lim (f(x)-f(c))/(x-c)
1) x-c < 0 f’(c)³ 0ü Þ f’(c) = 0
2) x-c > 0 f’(c)£ 0þ
Теорема Ролля
Эта теорема позволяет отыскать критические точки, а затем с помощью достаточных условий исследовать ф-ю на экстремумы.
Пусть 1) ф-я f(x) определена и непрерывна на некотором замкнутом промежутке [a;b]; 2) существует конечная производная, по крайней мере, в открытом промежутке (a;b); 3) на концах промежутка ф-я принимает равные значения f(a) = f(b). Тогда между точками a и b найдется такая точка с, что производная в этой точке будет = 0.
Док-во:
По теореме о свойстве ф-ий, непрерывных на отрезке, ф-я f(x) принимает на этом отрезке свое max и min значение.
f(x1) = M – max, f(x2) = m – min; x1;x2 Î [a;b]
1) Пусть M = m, т.е. m £ f(x) £ M
Þ ф-я f(x) будет принимать на интервале от a до b постоянные значения, а Þ ее производная будет равна нулю. f’(x)=0
2) Пусть M>m
Т.к. по условиям теоремы f(a) = f(b) Þ свое наименьшее или наибольшее значение ф-я будет принимать не на концах отрезка, а Þ будет принимать M или m во внутренней точке этого отрезка. Тогда по теореме Ферма f’(c)=0.
Теорема Лагранжа
Пусть 1) ф-я f(x) определена и непрерывна на интервале [a;b]
2) Существует конечная производная, по крайней мере, в открытом интервале (a;b).
Тогда между a и b найдется такая точка с, что для нее выполняется следующее равенство: (f(b)-f(a))/(b-a)=f’(c), a < c< b
Док-во:
Введем вспомогательную ф-ю F(x).
F(x) = f(x) - f(a) - [(f(b)-f(a))/(b-a)]*(x-a)
Эта ф-я удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля:
1) она непрерывна как разность между непрерывной и линейной функциями;
2) в открытом интервале (a;b) существует конечная производная этой ф-ии.
F’(x) = f’(x) - (f(b)-f(a))/(b-a)
3) на концах промежутка в точках a и b эта ф-я равна 0
F(a) = f(a) - f(a) - (f(b)-f(a))/(b-a)*(а - а) = 0
F(b) = f(b) - f(a) - (f(b)-f(a))/(b-a)*(b-a) = 0
Þ производная в какой-либо внутренней точке с равна 0. F’(с) = 0
f’(c) - (f(b)-f(a))/(b-a) = 0, отсюда
f’(c) = (f(b)-f(a))/(b-a)
Геометрическое истолкование
CB/AC = (f(b)-f(a))/(b-a)
На дуге АВ найдется по крайней мере одна точка М, в которой касательная || хорде АВ.
