Производная основных элементарных функций

Производная логарифмической функции. y=log_ax

Dy = log_a(x+Dx)-log_ax = log_a(1+Dx/x) = 1 log_a(1+Dx/x) = 1log_a(1+t) = 1 log_a(1+t)^1/t

Dx Dx Dx x Dx/x x t x

где t=Dx/x Используя непрерывность функции log_ax в точке х=е и первый замечательный предел, найдём производную логарифмической функции: (log_ах)¢= 1( log_а(lim(1+t)^1/t) = 1 log_ae= 1.

x ^t®0 x x lna

Производная показательной функции.

У=а^х является обратной для функции х=log_ау. По теореме

у¢_х= 1 = 1 =ylna

x¢_y 1/ylna

Поскольку у=а^х, получаем (а^х)¢=а^хlna.

Производная степенной функции.

Функция у=х^а при х>0 может быть представлена в виде х^а=е^alnx. Найдём (х^а)¢=(е^alnx)¢= е^alnx(alnx)¢=х^а_*а/х=ах^а-1 Аналогично доказывается для x<0.

Производные тригонометрических функций.

С помощью формулы sinа-sinb=2sin[(a-b)/2]_*cos[(a+b)/2], первого замечательного предела и непрерывности функции cos x найдём

(sinх)¢=lim sin (х+Dх) – sinх = lim 2sin(Dх/2) cos(х+Dх/2) =

^Dx®0 Dx ^Dx®0 Dx

=lim sin(Dх/2) cos(х+Dх/2) = cos x

^Dx®0 Dx/2

Для нахождения производных функций cos x и tg x можно использовать тождество cos x=sin(x-p/2), правило дифференцирования сложной функции.

Итак, (sin х)¢=cos x, (cos x)¢= - sin x, (tg x)¢=1/cos² x.

Производные обратных тригонометрических функций.

Функция у=arcsinx является обратной для функции х=sinу. Следовательно, (arcsinx)¢_x= 1 = 1 = 1 = 1

(siny)¢_y cosy Ö1-sin²x^Ø Ö1-x^2Ø

Аналогично находятся остальные обратные тригонометрические функции. (arcsinx)¢=1/Ö1-x^2Ø, (arccosx)¢= - 1/Ö1-x^2Ø, (arctgx)¢=-1/(x²+1).

12. Правило Лопиталя

Теорема (правило Лопиталя). Пусть А – число, символ одностороннего предела (А=а±0) или символ бесконечности (А=±∞). Пусть функции ƒ(х) и g(х) либо обе бесконечно малые, либо обе бесконечно большие при х→А. Тогда, если существует предел

(конечный или бесконечный),

 

то существует и предел при этом выполняется равенство:

Доказательство:

Доказательство теоремы дадим в случае, когда ƒ(х) и g(х) – бесконечно малые функции и А=а – число. Изменим, если это необходимо, определение функций ƒ(х) и g(х) в точке а так, чтобы значения этих функций в точке а были бы равны нулю: ƒ(х) = g(х)=0. Так как

 

и

 

то ƒ(х) и g(х) непрерывны в точке а,и к этим функциям можно применить теорему Коши. Учитывая, что ƒ(а) = ƒ(b)=0, получим

 

 

для некоторой точки с, расположенной между точками а и х. При х→а имеем с→а и, следовательно если ƒ(х)→0 и g(х)→0 (соответственно, |ƒ(х)|→+∞, |g(х)|→+∞), когда а→А. Правило Лопиталя позволяет во многих случаях найти предел вида

или, иными словами, раскрыть неопределенность.

В ряде случаев по правилу Лопиталя удается раскрыть неопределенности вида

Для этого следует воспользоваться тождеством

 

которое приводит указанные неопределенности к виду 0•х.