Производственные ф-и – экономико-математическое уравнение, связывающее переменные величины затрат (ресурсов) с величинами продукции (выпуска). ПФ может устанавливать зависимость объема продукции от наличия или потребления ресурсов – ф-я выпуска, наряду с которыми исп-ся как бы обратные к ним ф-и зависимости затрат рес-в от объемов выпуска продукции. Частными случаями ПФ. Явл. ф-я издержек (связь объема продукции и издержек пр-ва), ф-я капитальных затрат (завис-ть капиталовложений от производственной мощности предприятия). Наиболее важные из мат. Форм ПФ:
Линейная ПФ: Р=а1х1+а2х2+…+аnxn, где а1, а2,…. - факторы пр-ва.
Ф-я Кобба-Дугласа: N=A*Lα*Kβ, где N- национальный доход страны, L и K- соответственно объемы приложенного труда и капитала.
Ф-я CES: P=A[(1-a)K-b +aL-b] -c/ b
Ф-я полезности показывает зависимость эффекта некоторого действия от интенсивности этого дей-я. Общий вид: u=u(x1,…xn), x1,…xn- факторы, влияющие на полезность u. ФП может служить моделью поведения потребителей благ и услуг в обществе и рассматриваться как целевая ф-я потребления: v=v(с1,…сm), с1,…- количества благ. Потребители стремятся максимизировать эту ф-ю. Мат. Св-во ф-и: она должна иметь положительную первую производную, что означает: при увеличении объема благ увеличивается и полезность. Выбирая между разными наборами благ потребитель предпочтет те, чья полезность больше, поэтому ФП часто наз ф-й предпочтений.
Изокосты – геометрическое место точек (в пространстве ресурсов), для которых издержки пр-ва постоянны. В случае двух видов затрат И. Представляют собой параллельные прямые с наклоном, который равен отношению цен к затратам каждого вида (взятому с отрицательным знаком), что вытекает из формулы издержек: С=р1х1+р2х2, р1,р2 – цены, х1,х2 – объемы затрат каждого вида.
Х2
1 2 Х1
Изокванта – геометрическое место точек, в которых разные сочетания факторов пр-ва (ресурсов) дают одно и то же кол-во выпускаемой продукции. Кривизна И. Характеризует эластичность замещения между затратами этих факторов.
Вид изокванты для двух видов взаимозаменяемых ресурсов:
 |
Х2 q1
Х22 q2
Х21 q1
Осн. Св-ва:
1) Никогда не пересекаются друг с другом
2) Большему выпуску продукции соответствует более удаленная от начала координат изокванта
3) Если все ресурсы абсолютно необходимы для произ-ва, то И. Не имеют общих точек с осями координат,
4) При увеличении затрат одного ресурса объем произ-ва можно сохранить на том же уровне при уменьшении затрат др. рес.
В случае отсутствия возможности замены рес-в И. Приобретают вид (рис. 1) при постоянном соотношении затрат и при изменяющемся соотношении затрат (рис.2)
Х2 Х2
Х1 Х1
Рис.1 Рис2
Кривые безразличия – геометрическое место точек (пространства товаров), характеризующихся состоянием безразличия с точки зрения потребителя или производителя. Это графическая иллюстрация взаимозаменяемости товаров. Применяется для анализа спрса и потребления, а также др. эк. Явлений.
Отложим по оси 0Х кол-во 1-го блага, ОУ-другого. Кривая безразличия соединяет все толчки, отражающие такие комбинации, что покупателю безразлично, что покупать.
Если построить много кривых безразличия, то получится карта безразличия.
Св-ва:
1) К.Б. имеют отрицат. Наклон, крутизна которого показывает предельную норму замещения 1-го товара дру-гим.
2) Кривые никогда не пересекаются
3) Кривые выпуклы к началу координат (их абсолютный наклон уменьшается при движении по ним вправо).
У c
y1
У2 А
Y3
Х1 Х2 Х3 Х
Неявные функции
Пусть переменная u, является функцией переменных х1, х2,…, хn, задается посредством функционального уравнения F (х1, х2,…, хn, u) = 0. В этом случае говорят, что u как функция аргументов х1, х2,…, хn задана неявно, а саму функцию u называют неявной функцией. Неявные функции могут задаваться и посредством системы функциональных уравнений.
Производная функции y = y(x), заданной неявно уравнением F(x,y) = 0, где F(x, y) – диффиренцируемая функция переменных x и y, может быть вычислена по формуле: y’ = - F’x / F’y
При условии, что F’y ≠ 0.
Аналогично частные производные неявной функции двух переменных u = (х1, х2), заданной с помощью уравнения F(х1, х2, u) = 0, где F(х1, х2, u) – дифференцируемая функция переменных х1, х2, u могут быть вычислены по формулам: ∂u / ∂x1 = - F’x1 / F’u, ∂u / ∂x2 = - F’x2 / F’u.
