Свойства предела функции.
1. Функция f (x) в точке х0 может иметь только один предел.
Доказательство: Пусть (1)
и одновременно
где a≠b. (2)
Тогда для любой последовательности { хn} сходящейся к х0 (где все хn≠ х0), мы должны иметь два предела
что невозможно, т.к. последовательность { f (хn)} может иметь только один предел.
2.Если f (x) имеет предел в точке, то в некоторой окрестности этой точки функция ограничена.
Доказательство. Предположим, что это не так. U1=(х0-ε; х0+ε), ε>0. Ввиду неограниченности f (x) в этой окрестности должна найтись точка х1Î U1, такая что │ f (х1)│>1. Уменьшим вдвое эту окрестность и рассмотрим U2=(х0-ε/2; х0+ε/2), ε>0 окрестность, в ней снова найдется такая точка х2Î U2, такая что │ f (х2)│>2. Продолжив это рассуждение, получим Un=(х0-ε/n; х0+ε/n), f (хn) > n, хn → х0; f (хn)→∞. мы пришли к противоречию.
3.Если для всех точек х некоторой окрестности точки х0 выполняется неравенство f (x) ≥b, то и если такой предел существует. (доказывается по соответствующему свойству предела числовой последовательности).
4.Если в некоторой окрестности точки х0 имеем f (x)≥g(x), то и если пределы существуют.
5. Если в некоторой окрестности точки х0 имеем f (x)≥g(x)≥h(x) причем пределы f (x) и h(x) при х→ х0 существуют и равны между собой
Арифметические свойства пределов.
Односторонние пределы.
Опр.Число а называют пределом функции f (x)в точке х0 справа, если для любой сходящейся к х0 последовательности {хn}, в которой все хn>х0, соответствующая последовательность {f(хn)} сходится к а.
Аналогично определяют предел функции слева:
Асимптоты функций.
Прямая у=а называется вертикальной асимптотой графика у= f (x), если хотя бы один из пределов
Прямая у=кх+b является наклонной асимптотой графика у= f (x) при х→+∞, если f (x) представима в виде f (x)= кх+b+α(х), где
Теорема. Для того чтобы график функции у= f (x) имел х→+∞ наклонную асимптоту, необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела
Аналогично определяется наклонная асимптота для случая х→-∞.
Монотонные функции.
Функция y=f(x) называется возрастающей (убывающей) на некотором множестве Х принадл. R1, если она определена на этом множестве и если для любых значений х1, х2, принадлежащим Х, из условия х1<х2 следует нер-во:
f(x1)<f(x2) (f(x1) >f(x2))
Функция y=f(x) называется неубывающей (невозрастающей) на некотором множестве Х принадл. R1, если она определена на этом множестве и если для любых значений х1, х2 принадлежащим Х из условия х1<х2 следует нер-во:
f(x1)≤f(x2) (f(x1) ≥f(x2))
Невозрастающие, неубывающие, возрастающие и убывающие ф-и наз. Монотонными.
Любая ограниченная монотонная функция имеет предел.
Замечательные пределы.
1) lim f(x)sinx/x =1(при х→0) – первый замечательный предел.
Док-во. Т.к. ф-я y= sinx – четная, то достаточно показать, что предел при х→0 справа равен 1.
T
M
tgx
x
K A
O
MK= sinx Видно, что sinx<x<tgx,
1<x/ sinx<1/cosx
1>sinx/x>cosx
при х→0 справа имеем lim cosx=1, lim 1=1. Значит получили требуемое равенство.
2) lim (1+1/x)x =e(х→+ (-)∞) – второй замечательный предел.
Док-во.
Докажем
1)при +∞. Пусть х – любое число. Найдем такое целое n, чтобы выполнялось нер-во:
n ≤ x< n+1 (1)
Будем считать, что х>1,n>0. Сделав необходимые преобразования, получим: 1+1/ n ≥ 1+1/x> 1+1/(n+1)
Зная условие (1), можем получить: (1+1/ n)n+1≥ (1+1/x)x> (1+1/(n+1))n или f(x) ≥(1+1/x)x>g(x). При х→+∞,n →+∞, f(x) и g(x)→е. По св- ву предела ф-и lim (1+1/x)x →е(при х→+∞), что и т.д.
2) при -∞. Пу сть х=-t, где t>0.
(1+1/x)x=(1-1/t)-t =((t-1)/t)-t =(t/(t-1))t =(1+1/(t-1))t =(1+1/(t-1))t-1 (1+1/(t-1))x Выражение в правой части →е*1=е при х→-∞, т.е. t →+∞, что и т.д.
