Систем економіки, екології, соціології

Математичні моделі в кількісній формі, за допомогою логіко-математичних конструкцій, описують основні властивості об'єкта, процесу або системи, його параметри, внутрішні та зовнішні зв'язки.

Для побудови математичної моделі необхідно:

1) ретельно проаналізувати реальний об'єкт або процес;

2) виділити його найбільш суттєві риси і властивості;

3) визначити змінні, тобто параметри, значення яких впливають на основні риси і властивості об'єкта;

4) описати залежність основних властивостей об'єкта, процесу або системи від значення змінних за допомогою логіко-математичних співвідношень;

5) виділити внутрішні зв'язки об'єкта, процесу або системи з допомогою обмежень, рівнянь, рівностей, нерівностей, логіко-математичних конструкцій;

6) визначити зовнішні зв'язки і описати їх за допомогою обмежень, рівнянь, рівностей, нерівностей, логіко-математичних конструкцій.

Математичне моделювання, крім дослідження об'єкта, процесу або системи і складання їх математичного опису, також включає:

o побудову алгоритму, що моделює поведінку об'єкта, процесу або системи;

o перевірку адекватності моделі і об'єкта, процесу або системи на основі обчислювального і натурного експерименту;

o коригування моделі;

o використання моделі.

Математичний опис досліджуваних процесів і систем залежить від:

o природи реального процесу або системи і складається на основі законів фізики (наприклад, закони збереження, симетрії, правила розмірності – π-теорема Букингема), хімії, механіки, біології, тощо.

o необхідної достовірності і точності вивчення та дослідження реальних процесів і систем.

Нехай ставиться задача дослідити сукупність властивостей деякого реального об’єкта (процесу, явища) математичними методами. Для цього слід перевести об’єкт на математичну мову, тобто побудувати деяке відображення → ′, де ′ – математичний об’єкт (система співвідношень, рівнянь, геометричних фігур тощо). Якщо дослідження математичного об’єкту дозволяє зробити змістовні висновки про властивості реального об’єкту, то ′ називається математичною моделлю об’єкта відносно сукупності його властивостей.

Процес побудови математичної моделі складається із декількох стадій, перша з яких – спостереження. В результаті спостережень властивостей реального об’єкта останні формулюються мовою тієї галузі, яка вивчає ці властивості – будується механічна, фізична, хімічна, біологічна, економічна чи інша модель об’єкта. Така модель називається змістовною. Під час побудови змістовної моделі висуваються і використовуються відповідні гіпотези. При цьому неістотними (несуттєвими для опису об’єкта з точки зору суб’єкта дослідження) властивостями нехтують. На основі змістовної моделі і прийнятих визначальних співвідношень виписують відповідні рівняння, нерівності, функції, перекладаючи модель на формальну математичну мову. Як визначальні співвідношення можна використовувати: в фізиці – універсальні фізичні закони (закони збереження, симетрії, правила розмірності), а також закони, притаманні більш вузькій галузі (на кшталт законів Гука, Фурьє, Стефана). На етапі вибору математичної моделі встановлюються: лінійність і нелінійність об'єкта, процесу або системи, динамічність або статичність, стаціонарність або нестаціонарність, а також ступінь детермінованості досліджуваного об'єкта або процесу. При математичному моделюванні свідомо абстрагуються від конкретної фізичної природи об'єктів, процесів або систем і, в основному, зосереджуються на вивченні кількісних залежностей між величинами, що описують ці процеси.

Математична модель ніколи не буває повністю тотожна даному об'єкту, процесу або системі. Заснована на спрощенні, ідеалізації вона є наближеним описом об'єкта. Тому результати, отримані при аналізі моделі, носять наближений характер. Їх точність визначається ступенем адекватності (відповідності) моделі і об'єкта.

Наступні етапи моделювання пов’язані із розв’язанням отриманих рівнянь і інтерпретацією отриманих розв’язків з точки зору галузі, в якій проводяться дослідження.

Побудова математичної моделі зазвичай починається з побудови та аналізу найпростішої, найбільш грубої математичної моделі розглянутого об'єкта, процесу або системи. У подальшому, в разі необхідності, модель уточнюється, робиться її відповідність об'єкту більше повною.

Розглянемо простий механічний приклад. Нехай тіло маси m коливається в горизонтальній площині під дією пружини нульової маси із жорсткістю K>0. Припустимо, що протидіючі сили (наприклад, сила тертя) малі так, що можна знехтувати. Згідно закону Ньютона стан системи (положення тіла відносно деякого початку відліку – рівноважного стану) можна описати диференціальним рівнянням

(4.1)

із загальним розв’язком

. (4.2)

Інтерпретація результату – тіло здійснює гармонічні коливання з центром в точці із довільною амплітудою і частотою .

Рівняння (4.1) є математичною моделлю розглянутого процесу. Вимога простоти, звичайно, виконана. Але щодо адекватності її реальному процесу можуть виникнути деякі питання: по-перше, розв’язок (4.2) не дає ніякого правила знаходження амплітуди коливань; по-друге, в реальній системі коливання затухають за рахунок наявності (хоч би й малого) тертя, а з (4.2) випливає незмінність амплітуди.

Розглянемо більш складний механічний осцилятор. Розглянемо масу m, яку підтримує вертикально розміщена пружина, як це показане на рис. 4.1. Маса може зміщуватися тільки вздовж вісі пружини. Крім того, вона зв’язана з поршнем, який рухається в циліндрі, наповненому рідиною та розташованому всередині пружини. Поршень створює опір руху маси. Цей пристрій є ідеалізацією амортизаторів, які розміщені на більшості мотоциклів.

	Нехай х – зміщення маси m, вниз від її положення рівноваги. Припустимо,що: – Для пружини справедливий закон Гука, так що на масу діє сила Кх, К>0, спрямована в бік положення рівноваги; – Сила, з якою поршень діє на масу і яка перешкоджає її руху, пропорційна кінетичному моменту р с коефіцієнтом 2k, k>0. За цих припущень рівняння руху маси лінійні. Їх можна записати, користуючись наступними міркуваннями:
Рис. 4.1. Маса m розміщена на вертикально згорнутій пружині S, нерухомо закріпленій на своєму нижньому кінці. Маса з’єднана також із поршнем Р, що рухається в циліндрі, наповненому рідиною, і створює опір руху маси	– момент маси задається рівнянням р= m ; – швидкість зміни кінетичного моменту даної маси дорівнює силі, що до неї прикладена (другий закон Ньютона)

Таким чином, рух маси описується рівнянням:

,

де – довжина пружини в положенні рівноваги. Але в положенні рівноваги , тому і вище наведене рівняння можна переписати так:

.

Отже, координата маси задовольняє лінійному рівнянню другого порядку:

, (4.3)

де .

Рівняння (4.3) можна розглядати і як модель розглянутих раніше коливань тіла під дією горизонтальної пружини з урахуванням наявності в’язкого тертя.

Взагалі, існує багато математичних моделей одного й того ж реального об’єкта, причім далеко не всі вони вкладені одна в одну.

Разом з тим має місце й обернена картина: різні реальні об’єкти або змістовні моделі можуть мати одну й ту саму математичну модель. Наприклад, заряд в замкненому контурі, що містить послідовно опір , індуктивність та ємність (такий контур називається коливальним), задовольняє рівнянню

. (4.4)

З математичної точки зору рівняння (4.4) співпадає із рівнянням (4.3) з точністю до позначень. Надаючи інший фізичний зміст змінним і константам, що входять в рівняння (4.3) і (4.4), одержимо загальне модельне рівняння, що описує всілякі лінійні осцилятори. Отже, існує багато реальних об’єктів, що описуються однією математичною моделлю. Сформульовані принципи іноді формулюються в один загальний принцип множинності та єдності моделей. «Единство природы обнаруживается в поразитель­ной аналогичности дифференциальных уравнений, отно­сящихся к разным областям явлений» (В.І. Ленін)