Теорема про декомпозицію багатовимірних систем

Дві динамічні системи

= f₁ (x) (1.9)

і

= f₂ (x) (1.10)

 

(f₁, f₂: R_n → R_n) з нульовою стаціонарної точкою називаються локально топологічно еквівалентними, якщо знайдеться такий певний в деякому околі нуля фазового простору гомеоморфізм h, що

h [ g^t₁ (x) ] = g^t₂ [ h (x) ]

при всіх t і x, при яких обидві частини тотожності мають сенс; тут g^t₁ і g^t₂ – відповідні оператори зсуву. Таким чином, гомеоморфізм h переводить траєкторії першої системи в траєкторії другої, причому, узгоджено (див. рис. 1.7). Якщо h визначений на всьому фазовому просторі, то слово "локально" у визначенні локальної топологічної еквівалентності опускають.

 

Рис. 1.7. Переведення траєкторії системи (1.9) у траєкторії системи (1.10) за допомогою гомеоморфізму

 

 

Нехай А – лінійний оператор, А: R_n → R_n, що задає лінійне рівняння

= Ax.

Припустимо, що власні значення оператора А попарно різні, серед них є деяке число дійсних чисел і деяке число комплексно спряжених пар, причому , та, що парність кількості дійсних власних чисел дорівнює парності . Тоді справедлива

Теорема [2]: Простір R_n розпадається в пряму суму інваріантних відносно А одновимірних і інваріантних відносно А двовимірних підпросторів.

 

Тобто у випадку, коли всі власні значення оператора А: R_n → R_n прості, лінійне диференціальне рівняння = Ax розпадається в прямий добуток рівнянь з одновимірними і двовимірними фазовими просторами.

 

Лінійна система = Ax називається гіперболічною, якщо матриця A не має власних значень на уявній осі. Справедлива

Теорема. Дві гіперболічні системи = A₁x і = A₂x топологічно еквівалентні, якщо і тільки якщо кількість n _–(A₁) і n _–(A₂) власних значень з від’ємною дійсною частиною з урахуванням кратності (а отже, і кількість n ₊(A₁) і n ₊(A₂) власних значень з додатною дійсною частиною) матриць A₁ і A₂ збігається: n _–(A₁) = n _–(A₂), n₊ (A₁) = n ₊(A₂).

З теореми, наприклад, випливає, що двовимірні гіперболічні системи розбиваються на три топологічно не еквівалентні класи: а) стійкі вузли і фокуси, б) сідла; в) нестійкі вузли і фокуси.

 

Рис. 1.8. Топологічно еквівалентні і нееквівалентні системи

 

Перейдемо до питання про структуру околу стаціонарної точки нелінійної динамічної системи. Обмежимося випадком динамічної системи з диференційовною правою частиною

= f (x) (1.11)

(f ∈ C₁ (R_n, R_n), f (0) = 0), причому будемо припускати, що лінеаризована в нульовій точці стаціонарна система

= Ax (1.12)

(A = f' (0)) – гіперболічна. У цьому випадку відповідь на питання про поведінку траєкторій в околиці нульової стаціонарної точки дає фундаментальна

Теорема Гробмана - Хартмана. Динамічна система (1.11) локально топологічно еквівалентна своєї лінійній частині (1.12).

 

Повний аналіз питання про стійкість розв’язку рівняння (1.12) можна виконати безпосередньо аналізуючи поведінку матричної експоненти .

Нехай - повний набір коренів характеристичного рівняння матриці А.

Якщо всі власні значення матриці А мають від’ємні дійсні частини, то тривіальний розв’язок рівняння (1.12) асимптотично стійкий.

Якщо хоча б один з коренів характеристичного рівняння матриці А має додатну дійсну частину, то тривіальний розв’язок рівняння (1.12) нестійкий.

Нехай серед коренів характеристичного рівняння матриці А є декілька коренів з нульовою дійсною частиною, в той час коли решта коренів мають від’ємні дійсні частини. Тоді:

а) якщо всім кореням з нульовою дійсною частиною відповідають прості елементарні дільники, то тривіальний розв’язок рівняння (1.12) стійкий, але не асимптотично;

б) якщо хоча б одному з коренів із нульовою дійсною частиною відповідає кратний елементарний дільник, то тривіальний розв’язок системи (1.12) нестійкий.

Доведення цих умов стійкості тривіального розв’язку системи (1.12) див. у [15].

 

Нехай А – лінійний оператор, А: R_n → R_n, що задає лінійне рівняння

= Ax.

Припустимо, що власні значення оператора А попарно різні, серед них є деяке число дійсних чисел і деяке число комплексно спряжених пар, причому , так, що парність кількості дійсних власних чисел дорівнює парності . Тоді справедлива

Теорема [2]: Простір R_n розпадається в пряму суму інваріантних відносно А одновимірних і інваріантних відносно А двовимірних підпросторів.

 

Тобто у випадку, коли всі власні значення оператора А: R_n → R_n прості, лінійне диференціальне рівняння = Ax розпадається в прямий добуток рівнянь з одновимірними і двовимірними фазовими просторами. І тому дослідження стійкості особливих точок довільної системи виду (1.11) зводиться до дослідження особливих точок одновимірних і (або) двовимірних динамічних систем.