Определить весовую функцию g (t) и переходную функцию h (t) линейной САУ, состоящей из последовательного соединения апериодического и идеального интегрирующего звеньев, по заданным в табл. 1 параметрам ее передаточной функции в соответствии с последними двумя цифрами учебного шифра:
, где р – оператор Лапласа.
Составить таблицу расчетных значений искомых временных характеристик и построить их графики для временного интервала: t = 0 – 5 T с шагом дискретизации, равным 0,5 Т. Масштаб по оси ординат студентом выбирается самостоятельно, исходя из того, что высота графика должна быть не менее 8-10 см.
Таблица 1
| Номер варианта | |||||||||||
| последняя цифра шифра | К | ||||||||||
| предпоследняя цифра шифра | Т | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,5 | 0,6 | 0,7 | 0,8 | 0,9 |
Пример. В качестве примера рассмотрим САУ, передаточная функция которой имеет следующий вид:
.
Известно, что изображение весовой функции L [ g (t)] любой линейной САУ есть ничто иное, как ее передаточная функция:
L [ g (t)] = .
Для отыскания оригинала весовой функции g (t) = L -1[ W (p)] разложим W (p) на элементарные дроби, соответствующие передаточным функциям отдельных звеньев системы САУ, и воспользуемся методом неопределенных коэффициентов для определения неизвестных статических коэффициентов усиления этих звеньев (коэффициенты А и В в знаменателе элементарных дробей):
. (1)
После приведения правой части выражения (1) к общему знаменателю можно приравнять числители левой и правой частей полученного уравнения:
10 = А ∙(0,1∙ р + 1) + В ∙ р = р ∙(0,1∙ А + В) + А (2)
Приравнивая коэффициенты левой и правой частей уравнения (2) при одинаковых степенях р, получим систему двух уравнений из двух неизвестных:
10 = А;
0 = 0,1∙ А + В, откуда
А = 10; В = - 0,1∙ А = - 1.
Подставляя вычисленные значения коэффициентов А и В в уравнение (1), получим:
. (3)
Переход от изображений элементарных функций f (p) в операторной форме записи к их оригиналам, как функций времени f (t), осуществляется, как правило, с использованием стандартных таблиц изображений, приводимых в справочной литературе. Так, например:
оригинал L -1[1 /р ] функции 1 /р равен: L -1[1 /р ] = 1.
оригинал L -1[1 / (р + 10)] функции 1 / (р + 10) равен: L -1[1 / (р + 10)] = е -10∙ t.
Заменив в правой части уравнения (3) изображения элементарных функций на их оригиналы, получим искомое выражение для весовой функции:
g (t) = 10∙(1 - е -10∙ t) (4)
Задаваясь различными значениями t, заполним таблицу расчетных значений и построим график g (t).
По известной весовой функции g (t) можно найти переходную функцию h (t), принимая во внимание, что h (t) = 
.
Изображение L [ h (t)] функции h (t) можно получить путем умножения передаточной функции W (p) исходной САУ на передаточную функцию 1/ р идеального интегрирующего звена, что соответствует включению последовательно с САУ интегрирующего звена.
L [ h (t)] = W (p)∙1/ р = 
. 5)
Разложим правую часть уравнения (5) на элементарные дроби с тем, чтобы получить более простые изображения функций для нахождения их оригиналов.
= 
. (6)
После приведения правой части выражения (6) к общему знаменателю приравняем числители левой и правой частей полученного уравнения:
10 = А ∙ р ∙(0,1∙ р +1) + В ∙(0,1∙ р + 1) + С ∙ р 2. (7)
Приравнивая коэффициенты левой и правой частей уравнения (7) при одинаковых степенях р, получим систему трех уравнений из трех неизвестных:
10 = В;
0 = 0,1∙ В + А;
0 = 0,1∙ А + С, откуда
В = 10; А = - 0,1∙ В = - 1; С = - 0,1∙ А = 0,1.
Подставляя вычисленные значения коэффициентов А, В и С в уравнение (6), получим:
. (8)
Воспользовавшись известными таблицами изображений, найдем оригиналы простейших функций:
L -1[1 /р ] = 1;
L -1[1 /р 2] = t;
L -1[1 / (р + 10)] = е -10∙ t.
Заменив в правой части уравнения (8) изображения элементарных функций на их оригиналы, получим искомое выражение для переходной функции:
h (t) = 10∙[ t – 0,1∙(1 - е -10∙ t)] (9)
Задаваясь различными значениями t, заполним таблицу расчетных значений и построим график h (t).
Этот результат можно получить путем непосредственного интегрирования весовой функции g (t):
h (t) = 
