Математическая модель ИС была представлена на рис. 3.1,б.
Первая часть модели, содержащая так называемое уравнение преобразования, имеет вид (3.8):
y=F(х 
,..., x 
, x 
, Т, a ,..., ak, z). (3.79)
Аргументы оператора F являются воздействующими величинами, случайными переменными либо случайными нестационарными процессами, а уравнение преобразования имеет стохастический характер.
Вторая часть модели представляет собой процедуру градуировки (3.5):
x* = φ (y) = F 
(y), (3.80)
где
F 
= F (х ,..., x , x , a 
,..., a 
), (3.81)
т. е. является функцией номинальных (постоянных или детерминированных) значений конструктивных параметров, а также измеряемых входных величин.
Погрешность ИС определяется по (3.7) как разность значения измеряемой величины, восстановленной на основе показаний ИС, и собственно измеряемой величины:
∆ = x* - х,(3.82)
т. е.
∆ = φ [F(х ,..., x , x, T, a ,..., ak, z)] - x =
= F [F(х ,..., x , x, T, a ,..., ak, z)] – x. (3.83)
В наилучшем случае, когда F = F0, вычитаемое в формуле погрешности не равно х ввиду различия аргументов операторов F0 и F: аргументами F0 служат детерминированные величины, а аргументами F — случайные величины.
Воспользуемся примером. Уравнение преобразования магнитоэлектрического прибора имеет вид:
α = Φ zl·J / D = 
·x/ 
= 
x, (3.84)
где х=1, у = a, a = Φ, a 2 = z, a 
= l, a4 = D. Конструктивные параметры могут быть случайными величинами, что обозначено тильдой над буквой.
Процедура градуировки описывается соотношением
x* = φ (α) = cα = α/k 
, (3.85)
где c = const (обычно c = l/k ). Отсюда получаем
∆ = x* - x = ( /k )x – x = ( /k - 1)x = ( - k )x/k . (3.86)
Здесь /k0 ≠ 1, так как — случайная величина. Отметим, что ∆, как и у, является функцией источников погрешностей a 
(j = 1,..., k), которые представляют собой нестационарные случайные процессы; поэтому ∆, как функция a , тоже является нестационарным случайным процессом. Интерпретация свойств конструктивного параметра, представленная на рис. 3.14, учитывает внутреннюю изменяемость a , выраженную составляющей ∆ 
, зависящей от времени, а также внешнее влияние условий использования ИС, выраженное влияющими величинами. Следовательно, погрешность ∆ представляет собой многомерный случайный процесс, а ее аргументами являются входные величины х 
, а также время Т эксплуатации ИС, т. е.
{ 
} = { 
(x ,..., x , T)}. (3.87)
Здесь индекс k — порядковый номер реализации процесса. Реализации процесса { 
} происходят в действительном времени t 
T 
T. Физический смысл погрешности как случайного процесса состоит в том, что ИС размещается в m +1-мерном случайном поле с координатами x ,..., x 
(где xm+1 = T). В зависимости от положения ИС в этом поле получаются различные реализации погрешностей. Так, например, если x = xio= = const, i= l ,..., т — 1, T = const, то процесс возникновения погрешности одномерен, { }={ (x)}. На рис. 3.15 представлены распределения погрешностей электроизмерительных показывающих приборов — магнитоэлектрического и электромагнитного, причем электромагнитный прибор имеет квадратичную характеристику y = ax2.
Магнитоэлектрический прибор характеризуется нормальным распределением погрешностей с постоянной дисперсией σ2= const для данного х, а среднее значение погрешности E { k } = m (x)зависит от значения х, что отмечено на рисунке ломаной линией. Распределение погрешностей электромагнитного прибора характеризуется тем, что среднее значение погрешности т (х) и дисперсия σ 2 (х)зависят от аргумента х.
Могут существовать как частные случаи ИС с погрешностями, описываемыми стационарными процессами. Так, например, магнитоэлектрический измерительный прибор может иметь пренебрежимо малую систематическую погрешность и случайную погрешность с постоянной дисперсией, что позволяет описать эти свойства стационарным процессом в данных условиях сравнения.
Во многих случаях нестационарный процесс погрешностей { } можно представить с помощью стационарного процесса {ε} и функций h(x 
,..., xm, Т), g(x ,..., xm, Т) измеряемых аргументов, таких что
{ } = g(x ,..., xm, T){ ε }+ h(x ,..., xm, T). (3.88)
Случайный процесс {ε} имеет следующие свойства:
E{ ε } = 0, E{ ε 
² } = 1, (3.89)
E [{ ε 
{ε 
}] = E [{ ε }{ε 
}] = ρ(
). (3.90)
Из приведенного выше следует, что
{ k } = [ g (·){ε} + h (·)] = g (·) {ε} + h (·) = h (x ,..., xm, T), (3.91)
а также
var{ k } = [({ k } - { k })²] = g ²(·) [{ε }²] = g ²(x ,..., xm, T), (3.92)
если очередные реализации происходят на интервалах времени, больших чем tнач, а ρ(t) = 0 по истечении некоторого времени. Математические ожидания рассчитываются по множеству реализаций.
Без существенных затруднений функцию g, а также h можно определить теоретически или экспериментально. Так, например, в магнитоэлектрическом измерительном приборе неточная балансировка измерительного органа приводит к появлению момента, пропорционального массе этого органа m, ускорению свободного падения g, расстоянию R между центром массы и осью вращения измерительного органа, а также синусам соответствующих углов φ , β (рис. 3.16), а именно:
M 
= mgR sinβ sin(φ + φ ). (3.93)
Уравнение моментов 
= 0 позволяет получить модель измерительного прибора:
α = 
(φ - φ ). (3.94a)
Здесь I — сила тока, — чувствительность, b = mgR sinβ /D = const, φ — угловое положение измерительного органа, соответствующее отклонению α. Значения R, φ в данном приборе реализованы случайным образом; при этом R 
, φ 
. Если процедура градуировки имеет вид (3.85)
J* = c α и c = 1/ k ,
то
∆= J*-J=c [ J–b sin(φ+ φ )] -J =[( -k )/ k ]–(b / k )(φ+ φ ) (3.94б)
в интервале φ = φ 
= φ 
- φ 
, обусловленном диапазоном измерений. Из определений (3.91), (3.92) и уравнения (3.94б) получаем
h (x) = - 
sin (φ + φ ) = - sin (k J+ φ ), (3.94в)
поскольку φ = k J в идеальной модели, а также
g² = var 
= 
, (3.94г)
если k0, I = const, а — случайная переменная со средним значением k0 и дисперсией 
. Процедуру градуировки (3.85) можно подобрать так (например, c = c ≠ 1/ k), чтобы уменьшить систематическую погрешность.
Рис. 3.16. Определение величин, характеризующих момент, обусловленный неточной балансировкой измерительного органа показывающего прибора:
a — конструктивная схема измерительного органа; б — вид с направления оси 0 ‑ 0 — нулевое положение измерительного органа; R—R — плоскость, проходящая через ось и центр массы; φ 
— угол положения этой плоскости; В-В — плоскость отклонения измерительного органа от вертикали; φ 
— угол положения этой плоскости; β — угол отклонения измерительного органа от вертикали; R sin γ — плечо силы, вызывающей поворот; mg sinβ — составляющая силы тяжести, поворачивающая измерительный орган
В некоторых случаях модель возникновения погрешности можно построить теоретически. Так, источником погрешности в резисторе может быть тепловой шум, описываемый формулой Найквиста (3.52). Тогда g (θ) попросту равняется 
и зависит от температуры θ резистора. Диодный шум имеет дисперсию σ u 2 = 3000 мкВ2.
Экспериментально определить функции g и h сложнее. Во-первых, для определения g хотя бы в одной точке необходимо такое количество реализаций, чтобы смещение оценки дисперсии было пренебрежимо мало. Пусть это будет число п. То свойство ИС, что g = const, существенно уменьшает необходимое количество измерений. Во-вторых, реализация каждого из аргументов в q точках дает необходимое количество точек:
N = (m + 1) 
. (3.95)
Соответствующий подбор точек влияет на стоимость исследований. Для некоторых измерений, например физико-химических, приходится использовать расходуемые образцы; измерения при переменных температурах требуют много времени. Поэтому необходимы упрощения.
