Модель с непрерывным временем

Математическая модель ИС была представлена на рис. 3.1,б.

Первая часть модели, содержащая так называемое уравнение преобразования, имеет вид (3.8):

y=F(х ,..., x , x , Т, a ,..., a_k, z). (3.79)

Аргументы оператора F являются воздействующими величинами, случайными переменными либо случайными нестационарными процессами, а уравнение преобразования имеет стохастический характер.

Вторая часть модели представляет собой процедуру градуировки (3.5):

x* = φ (y) = F (y), (3.80)

где

F = F (х ,..., x , x , a ,..., a ), (3.81)

т. е. является функцией номинальных (постоянных или детерминированных) значений конструктивных параметров, а также измеряемых входных величин.

Погрешность ИС определяется по (3.7) как разность значения измеряемой величины, восстановленной на основе показаний ИС, и собственно измеряемой величины:

∆ = x* - х,(3.82)

т. е.

∆ = φ [F(х ,..., x , x, T, a ,..., a_k, z)] - x =

= F [F(х ,..., x , x, T, a ,..., a_k, z)] – x. (3.83)

В наилучшем случае, когда F = F₀, вычитаемое в формуле погрешности не равно х ввиду различия аргументов операторов F₀ и F: аргументами F₀ служат детерминированные величины, а аргументами F — случайные величины.

Воспользуемся примером. Уравнение преобразования магнитоэлектрического прибора имеет вид:

α = Φ zl·J / D = ·x/ = x, (3.84)

где х=1, у = a, a = Φ, a ₂ = z, a = l, a₄ = D. Конструктивные параметры могут быть случайными величинами, что обозначено тильдой над буквой.

Процедура градуировки описывается соотношением

x* = φ (α) = cα = α/k , (3.85)

где c = const (обычно c = l/k ). Отсюда получаем

∆ = x* - x = ( /k )x – x = ( /k - 1)x = ( - k )x/k . (3.86)

Здесь /k₀ ≠ 1, так как — случайная величина. Отметим, что ∆, как и у, является функцией источников погрешностей a (j = 1,..., k), которые представляют собой нестационарные случайные процессы; поэтому ∆, как функция a , тоже является нестационарным случайным процессом. Интерпретация свойств конструктивного параметра, представленная на рис. 3.14, учитывает внутреннюю изменяемость a , выраженную составляющей ∆ , зависящей от времени, а также внешнее влияние условий использования ИС, выраженное влияющими величинами. Следовательно, погрешность ∆ представляет собой многомерный случайный процесс, а ее аргументами являются входные величины х , а также время Т эксплуатации ИС, т. е.

{ } = { (x ,..., x , T)}. (3.87)

Здесь индекс k — порядковый номер реализации процесса. Реализации процесса { } происходят в действительном времени t T T. Физический смысл погрешности как случайного процесса состоит в том, что ИС размещается в m +1-мерном случайном поле с координатами x ,..., x (где x_m+1 = T). В зависимости от положения ИС в этом поле получаются различные реализации погрешностей. Так, например, если x = x_io= = const, i= l ,..., т — 1, T = const, то процесс возникновения погрешности одномерен, { }={ (x)}. На рис. 3.15 представлены распределения погрешностей электроизмерительных показывающих приборов — магнитоэлектрического и электромагнитного, причем электромагнитный прибор имеет квадратичную характеристику y = ax².

Магнитоэлектрический прибор характеризуется нормальным распределением погрешностей с постоянной дисперсией σ²= const для данного х, а среднее значение погрешности E { _k } = m (x)зависит от значения х, что отмечено на рисунке ломаной линией. Распределение погрешностей электромагнитного прибора характеризуется тем, что среднее значение погрешности т (х) и дисперсия σ ² (х)зависят от аргумента х.

Могут существовать как частные случаи ИС с погрешностями, описываемыми стационарными процессами. Так, например, магнитоэлектрический измерительный прибор может иметь пренебрежимо малую систематическую погрешность и случайную погрешность с постоянной дисперсией, что позволяет описать эти свойства стационарным процессом в данных условиях сравнения.

Во многих случаях нестационарный процесс погрешностей { } можно представить с помощью стационарного процесса {ε} и функций h(x ,..., x_m, Т), g(x ,..., x_m, Т) измеряемых аргументов, таких что

{ } = g(x ,..., x_m, T){ ε }+ h(x ,..., x_m, T). (3.88)

Случайный процесс {ε} имеет следующие свойства:

E{ ε } = 0, E{ ε ² } = 1, (3.89)

E [{ ε {ε }] = E [{ ε }{ε }] = ρ(). (3.90)

Из приведенного выше следует, что

{ _k } = [ g (·){ε} + h (·)] = g (·) {ε} + h (·) = h (x ,..., x_m, T), (3.91)

а также

var{ _k } = [({ _k } - { _k })²] = g ²(·) [{ε }²] = g ²(x ,..., x_m, T), (3.92)

если очередные реализации происходят на интервалах времени, больших чем t_нач, а ρ(t) = 0 по истечении некоторого времени. Математические ожидания рассчитываются по множеству реализаций.

Без существенных затруднений функцию g, а также h можно определить теоретически или экспериментально. Так, например, в магнитоэлектрическом измерительном приборе неточная балансировка измерительного органа приводит к появлению момента, пропорционального массе этого органа m, ускорению свободного падения g, расстоянию R между центром массы и осью вращения измерительного органа, а также синусам соот­ветствующих углов φ , β (рис. 3.16), а именно:

M = mgR sinβ sin(φ + φ ). (3.93)

Уравнение моментов = 0 позволяет получить модель измерительного прибора:

α = (φ - φ ). (3.94a)

Здесь I — сила тока, — чувствительность, b = mgR sinβ /D = const, φ — угловое положение измерительного органа, соответствующее отклонению α. Значения R, φ в данном приборе реализованы случайным образом; при этом R , φ . Если процедура градуировки имеет вид (3.85)

J* = c α и c = 1/ k ,

то

∆= J*-J=c [ J–b sin(φ+ φ )] -J =[( -k )/ k ]–(b / k )(φ+ φ ) (3.94б)

в интервале φ = φ = φ - φ , обусловленном диапазоном измерений. Из определений (3.91), (3.92) и уравнения (3.94б) получаем

h (x) = - sin (φ + φ ) = - sin (k J+ φ ), (3.94в)

поскольку φ = k J в идеальной модели, а также

g² = var = , (3.94г)

если k₀, I = const, а — случайная переменная со средним значением k₀ и дисперсией . Процедуру градуировки (3.85) можно подобрать так (например, c = c ≠ 1/ k), чтобы уменьшить систематическую погрешность.

 

 

 

Рис. 3.16. Определение величин, характеризующих момент, обусловленный неточной балансировкой измерительного органа показывающего прибора:

a — конструктивная схема измерительного органа; б — вид с направления оси 0 ‑ 0 — ну­левое положение измерительного органа; R—R — плоскость, проходящая через ось и центр массы; φ — угол положения этой плоскости; В-В — плоскость отклонения измерительного органа от вертикали; φ — угол положения этой плоскости; β — угол отклонения измерительного органа от вертикали; R sin γ — плечо силы, вызывающей поворот; mg sinβ — составляющая силы тяжести, поворачивающая измерительный орган

 

В некоторых случаях модель возникновения погрешности можно построить теоретически. Так, источником погрешности в резисторе может быть тепловой шум, описываемый формулой Найквиста (3.52). Тогда g (θ) попросту равняется и зависит от температуры θ резистора. Диодный шум имеет дисперсию σ _u ² = 3000 мкВ².

Экспериментально определить функции g и h сложнее. Во-первых, для определения g хотя бы в одной точке необходимо такое количество реализаций, чтобы смещение оценки дисперсии было пренебрежимо мало. Пусть это будет число п. То свойство ИС, что g = const, существенно уменьшает необходимое количество измерений. Во-вторых, реализация каждого из аргументов в q точках дает необходимое количество точек:

N = (m + 1) . (3.95)

Соответствующий подбор точек влияет на стоимость исследований. Для некоторых измерений, например физико-химических, приходится использовать расходуемые образцы; измерения при переменных температурах требуют много времени. Поэтому необходимы упрощения.