Модели ИС с дискретным временем

Многие ИС действуют циклически, ввиду чего результат измерения имеет вид:

y (t)= y (t_i)[ 1 (t-jT)- 1 (t- (j+ 1) T)]= y (t_i) H_j, (3.32)

где j = 0, 1, 2,...; t_j = jT.

Символом H_j обозначена функция

H_j = 1 (t-jT)- 1 [ t- (j+ 1) T)], (3.33)

которая описывает действие выходной ступени преобразования цифровых ИС, называемой регистром. Регистр — это устройство памяти, в котором фиксируются результаты измерения за время одного цикла измерения. Регистр управляется блоком управления ИС.

Рис. 3.10. Выдача результата измерения цифровой ИС

Во время первого измерения ИС показывает результат у₀, т. е. состояние перед измерением, во время второго измерения — результат первого измерения у₁,и т. д. Это иллюстрирует рис. 3.10. Индекс j обозначает номер измерения, а Т — период (время) измерения. Время измерения поделено на элементарные временные шаги i Δ t, идентифицированные порядковым но­мером i. Измерения начинаются с момента i = 0. В моменты времени i Δ t может произойти: а) изменение состояния элементов ИС либо величин, описывающих это состояние; б) изменение структуры ИС.

Состояние элемента описывается величиной u_i или величинами u_ki (k = 1, 2, 3,...) в моменты и (i Δ t), а поддержание этого состояния в течение временного шага — функцией H_i (3.44), как это представлено в формуле (3.43). Примеры моделирова­ния ИС с дискретным временем показаны ниже.

Цифровой вольтметр с двойным интегрированием. Структурная схема цифрового вольтметра представлена на рис. 3.11. Картину прохождения сигналов по отдельным ступеням преобразования дает рис. 3.12. В первом периоде работы устройства осуществляется интегрирование напряжения U_x, и выходное напряжение интегратора имеет вид

(3.34)

С момента i = 0 счетчик L отсчитывает импульсы, вырабатываемые генератором импульсов:

U _г,м,= d (t-i D t), i =... -2, -1, 0, 1, 2, 3, …, (3.35)

а состояние счетчика в текущий момент описывается уравнением

= U _г,н t < N₀, (3.36)

где

N D t<t< (N+ 1)D t. (3.37)

Если к моменту времени t ₁счетчик достигнет состояния переполнения N ₀, то интегрирование напряжения U_x прекращается и происходит переключение на входе интегратора напряжения U₀. Первый период измерения заканчивается, когда

(3.38)

(3.39)

 

Рис. 3.12.Характеристики сигналов в цифровом вольтметре с двойным интегрированием

Во втором периоде измерения j=l выходное напряжение интегратора уменьшается в соответствии с уравнением

(3.40)

и в момент t₂ достигает нуля. Тогда детектор генерирует им­пульс

U _Д=d(U_y)=d(t-t₂) (3.41)

на закрытие вентиля (ключа), и последующие импульсы от генератора до счетчика не доходят.

Найдем t₂. В момент, когда интегрирование заканчивается, выходное напряжение генератора достигает порога срабатыва­ния детектора U _Д:

(3.42)

откуда с учетом (3.39) получается:

. (3.43)

Здесь U_Дx — величина нечувствительности детектора в состоянии равновесия.

В момент t₂ состояние счетчика достигает

(3.44)

при этом N соответствует условию (3.37) для момента закрытия ключа,

(N₀+N)D t<t₂< (N₀+N+1)D t. (3.45)

Измерение времени t₂ выполняется путем считывания временных шагов D t_i, так что

(3.46)

где

0<D₂£D t_N+1 , (3.47а)

или

0<D₂ f_2N£ 1. (3.47б)

Отсюда после подстановки (3.43) в выражение (3.46) получаем

(3.48)

Это – уравнение преобразования интегрирующего вольтметра, где измеряемой величиной является среднее значение напряжения x=U_xср., а выходной величиной – y=N. Величина Δ _z = Δ ₂ f _2CP – погрешность считывания, значение которой случайно на временном интервале.

Представленная модель учитывает некоторые реальные свойства цифрового вольтметра – неодинаковые постоянные интегрирования и частоту генератора импульсов в первом и втором циклах измерения, а также нечувствительность детектора U_Д. Процедура калибровки определяется идеальной моделью, т. е. равенством (3.48) при k₁=k₂, f_1ср.=f_2ср., U_Д=0, т. е. в идеальном случае:

(N/N₀) U₀<U^*_{x ср.}< [(N+ 1)/ N₀ ] U₀. (3.49)

После подстановки в эту процедуру действительной модели (3.48) получаем

(3.50)

Время измерения составляет T=2N ₀ Dt+MDt, причем за Μ временных шагов осуществляются перенос состояния счетчика в регистр, обнуление счетчика и интегратора.

Уравнения преобразования (3.34), (3.36), (3.37), (3.39) позволяют определить состояние цифрового вольтметра в каждый момент времени t, так что представленная модель является динамической.

 

3.3. Моделирование источников погрешностей.
Вероятностные модели

При моделировании погрешностей стараются учитывать реальные свойства конструктивных элементов ИС. Источниками погрешности могут быть:

1) явления, имеющие молекулярный характер,

2) влияние некоторых факторов окружающей среды на явления внутри ИС,

3) процессы старения и износа (изменения свойств элементов, из которых построена ИС, носят случайный ха­рактер).

В моделировании характеристик явлений такого рода принимаются постоянными значения коэффици­ентов уравнения преобразования. Вот ряд примеров таких моделей.

Явления молекулярного характера

1. Количество частиц, излучаемых источником изотопов, на интервалах времени подчиняется распределению Пуассона. Скорость частиц неодинакова и приблизительно описывается распределением Максвелла. В детерминированных моделях оперируют средним потоком частиц . На рис. 3.13 показано, как с увеличением времени усреднения (либо с повышением активности источников) ослабевает случайный характер явления.

Рис. 3.13. Распределение значений числа N частиц для различных средних значений потока частиц

 

2. Удары частиц газа в нить торсионных весов либо гальва­нометра вызывают флуктуации подвижного органа с отклонением Δφ, причем среднеквадратическое отклонение составляет

Δφ_ск= (3.51)

где

Здесь G — модуль поперечной упругости материала нити, r, I — размеры нити (радиус сечения и длина), k — постоянная Больцмана (универсальная газовая постоянная), Т — абсолютная температура.

3. Тепловые шумы в сопротивлениях описывает формула Найквиста:

(3.52)

где E_СК – среднеквадратическое значение электродвижущей силы для полосы частоты Df; R – величина сопротивления.

4. Флуктуационный (дробовой) шум, возникающий в фотоэлектронных умножителях (и в электронных лампах), будучи эффектом катодной эмиссии электронов, характеризуется током эмиссии

либо (3.53)

где i₀ — среднее значение тока за период t; e — заряд электрона.

5. Токовый шум, обусловленный молекулярной природой электричества, проявляется в измерительных датчиках (контурах)смалой силой тока, таких как детекторы излучения, тон­копленочные резисторы, полупроводники и т. д. Среднеквадра­тическое значение этого шума определяется по эмпирической формуле

(3.54)

где с — постоянная, R — сопротивление, i —сила тока, f — частота.

В электронных системах проявляются:

1) токовые шумы с интенсивностью, обратно пропорциональной частоте,

2) тепловые и дробовые шумы, не зависящие от частоты,

3) паразитные шумы для очень высоких частот.

Молекулярный характер имеют явления теплообмена путем теплопроводности, излучения и конвекции, давления жидкости или газа и много других явлений.

Влияние окружающей среды

Влияние среды на ИС обусловлено зависимостью свойств конструктивных элементов от окружающих условий. Почти все свойства материалов зависят от температуры, ИС питается от энергетической сети и т. д. Выявленные и исследованные зависимости учитываются в математической модели путем формулирования зависимости выходных величин от воздействующих величин x₁, …, x_m-1 для различных значений х. Можно также учесть динамические состояния. Но все явления охватить моделью не удается.

Сохраняется:

1) остаточное влияние колебаний напряжения в сети,

2) влияние солнечной радиации (его можно уменьшить, но трудно полностью исключить),

3) изменения давления в помещении вследствие напора ветра, а также другие явления подобного характера.

Остаточное (неучтенное) влияние среды учитывается в моделях путем введения переменной z.

Старение и износ

Можно рассмотреть также вопросы старения и износа материала. Это явления, продолжительные по времени, протекающие обычно монотонно.

1. Так, например, старение изоляции подчиняется закону Аррениуса

, (3.55)

где — скорость химических реакций, R — газовая постоянная, Т —температура, D V — энергия активации, — постоянная реакции, В= const.

2. Скорость испарения материала из горячего волокна описывается выражением

(3.56)

где — давление, Μ — молекулярная масса материала, R — газовая постоянная, Т — температура.

К эффектам старения также относятся:

3. Истирание и износ подвижных частей, ход и продолжитель­ность которых можно оценить подобным же образом.

4. Загрязнения поверхности оптических элементов, токопроводящие, химически и физически активные, всегда являются помехами, хотя они и трудны для аналитического описания.

В ИС множество элемен­тов различным образом подвержены старению и износу, и наб­людается итоговый эффект, который не всегда монотонен.

В моделировании источников погрешностей целью является детерминированная модель ИС. Входящие в модель коэффициенты b₁, …,b_i однозначно зависят от конструктивных парамет­ров а₁, …,a_k [11]:

(3.57)

На каждый из конструктивных параметров могут влиять молекулярные явления либо старение материалов, ввиду чего данный параметр a_j содержит постоянную a_j0 и случайную составляющие, а именно:

(3.58)

Для учета этих явлений приходится вводить специальные источники погрешностей, описывающие, например:

1) интенсивность тепловых шумов в резисторе,

2) сопротивление стыков в контуре, так как они не следуют непосредственно из детерминированной модели.

Каждый источник как случайная переменная характеризуется распределением вероятностей и спектральной плотностью. Если источник погрешности локализован в структурной схеме, а его характеристики и модель известны, то степень влияния этого источника на выходную величину можно рассчитать.

Сложность этой задачи обусловлена следующими причинами:

1. Кроме постоянных значений величин x₁,…, x_m, что позволяет принять статическую модель, внутри ИС существуют источники случайных величин, для синтеза которых следует использовать динамическую модель.

2. Внутренние источники погрешностей характеризуются весьма широким спектром частот; высокие частоты возникают в результате молекулярных явлений, очень низкие — в процессах старения. Распределения вероятностей внутренних источников погрешностей могут быть разнородными. Процессы старения ведут к тому, что общий эффект погрешностей может представлять собой нестационарный процесс.

3. Нелинейные элементы могут значительно расширять спектры шумов, а усредняющие элементы — зауживать их. Поэтому приблизительные оценки могут быть ошибочны.

Ниже мы рассмотрим способ моделирования источников погрешностей и некоторые свойства преобразования их.

Нелинейные элементы

Свойства модели. Рассматриваются безынерционные нелинейные элементы (без динамики). Источник погрешностей на входе элемента описывается распределением вероятностей р(х) и спектральной плотностью S_x (ω). Это означает, что случайная величина X стационарна. На выходе элемента с характеристикой y=f(x) получается стационарная случайная переменная Y.

1-й этап. Определение вероятностного распределения. Исходными данными для расчета являются конструктивные параметры a₁, …, a_k, а также многомерное распределение вероятностей p (a₁, …, a_k) и граничные распределения p₁ (a₁, …, a_k). Коэффициентами модели служат величины b₁, …, b_i, определяемые выражением (3.57) при i=1, 2,..., l, а именно:

Функцию ψ _i можно посредством последовательных подстановок представить в виде элементарных функций: суммы, разности частного и произведения двух первичных переменных a_j или функции одной переменной. Расчетные формулы для элементарных функций приведены в табл. 3.1.

2-й этап. Определение спектральной плотности. Исходные данные: спектральная плотность S_x (ω) либо функция корреляции Κ_x(τ) стационарного источника погрешностей, а также характеристика элемента[12]. Для линейного элемента существует связь

(3.59)

(3.60)

Относительно просто можно рассчитать (по определению) функцию корреляции на выходе элементов с квадратичной или многомерной характеристикой. Поэтому прочие характеристики следует аппроксимировать многомерной характеристикой.

 

Таблица 3.1.

Формулы для расчета распределения вероятности функции непрерывных случайных переменных

Функции	Зависимые переменные	Независимые переменные
Одномерная Z = f (X), если существуют X =w(X) и
Z = X+Y
Z = X-Y
Z = XY
Z = X / Y

 

Нижеприведенные формулы относятся к случайной переменной X со средним значением, равным нулю (E [ X ] = 0), а также с нормальным распределением вероятностей. Если

Y = X ², (3.61)

то, обозначив

X₁=X (t), X₂=X (t+ t), (3.62)

можно рассчитать функцию корреляции по определению

K_y (t)= E {[ X₁²-E (X₁²)][ X₂²-E (X₂²)]}. (3.63)

После выполнения преобразований и расчетов получаем

K_y (t)=2[ K_x (t)]².(3.64)

Спектральная плотность вычисляется по формуле Винера — Хинчина

. (3.65)

Свешников предлагает рассчитывать интеграл (3.65) по формуле

, (3.66)

что значительно упрощает расчеты.

Если характеристика элемента имеет вид:

Y=b₀+b₁X+b₂X ², (3.67)

где X – случайная переменная с нормальным распределением и средним значением, равным нулю, то

, (3.68)

. (3.69)

Для нелинейного элемента с характеристикой

Y=XU, (3.70)

если E(X)=E(U)=0, обе переменные X, U имеют нормальные распределения, а характеристики их известны, то

, (3.71)

. (3.72)

Примеры (3.67), (3.70) позволяют шаг за шагом рассчитать очень сложные характеристики элементов. Однако расчеты усложняются, так как по достижении нелинейности распределение выходной величины перестает быть нормальным.