Моделированием мы будем называть формулирование математической модели. Математическая модель дает приблизительное описание явлений, происходящих в измерительных системах (ИС). Вышеприведенное определение рассматривается как аксиома.
Математическая модель — это определение, которое расширяет понятие физического закона. Обнаружение явлений случайного характера привело к заключению о том, что связи между физическими величинами не вполне однозначны, а имеют стохастический характер. Уравнения, описывающие такие связи,— это не законы, а математические модели.
Различают моделирование сигналов и моделирование систем. В метрологии рассматриваются заданные и случайные сигналы. Они представляются в зависимости от времени и частоты.
Понятие сигнала обычно ассоциируется с физической величиной, являющейся носителем энергии. Сигналом может быть также величина, не являющаяся носителем энергии, но характеризующая состояние материи. Между моделями сигнала и измерительной системы существует определенная взаимосвязь; модель ИС устанавливает связи между сигналами.
ИС состоит из элементов двух родов:
1. Активные элементы, генерирующие физические величины, — носители энергии; эти элементы характеризуются одной, двумя либо большим числом физических величин.
Примеры активных элементов: электрические аккумуляторы; питатели; источники света электромагнитного и корпускулярного излучения; массы, находящиеся в гравитационном поле; сжатый воздух; усилители электрических сигналов, пневматических импульсов и т. д.
2. Пассивные элементы, свойства которых зависят от состояния материи и выражаются величинами, не являющимися носителями энергии.
Примеры пассивных элементов: механические конструктивные элементы, характеризующиеся размерами, массой, свойствами этих элементов; оптические элементы — фильтры, призмы, линзы, зеркала; электрические элементы — сопротивления, конденсаторы, катушки, молекулярные сита и т. д.
Если ИС построена из разнородных элементов, это затрудняет моделирование.
Моделирование в метрологии отличается от моделирования, применяемого в других науках, следующими факторами:
1. Специфична цель формулирования моделей, вызванная потребностью количественной оценки явлений и идентификации неизвестных свойств элементов.
2. Требуется значительно более высокая точность моделирования, для чего в ИС приходится использовать такие явления или элементы, модели которых известны достаточно точно.
3. Математическая модель ИС всегда определима, т. е. устройство с неизвестной моделью не может быть использовано как средство измерения.
4. Кроме самой модели в метрологии всегда определяется также ее точность.
Рассмотрение этих факторов удобнее начать с п.3 и п.4.
ИС как систему характеризуют входы и выходы. Входным сигналом является состояние измеряемой величины, вводимой в ИС. Входами служат также воздействующие величины, характеризующие условия работы ИС. Выходом является показание прибора либо состояние выходных величин, доступных органам чувств человека. В системной интерпретации различных явлений формулируются три задачи:
1) известны вход и модель системы — нужно определить выход;
2) известны вход и выход — нужно построить модель;
3) известны модель и выход — нужно определить вход.
Так вот, каждое измерение — это решение третьей задачи.
Для того чтобы на основе состояния выхода воссоздать состояние измеряемой входной величины, необходимо знать модель. Нас интересует модель типа «вход-выход ИС».
Для метрологии фундаментальным свойством является однозначность отображения, а также границы неоднозначности такого отображения. Это связано с целью формулирования модели и возможностью воспроизведения состояния входа.
Требование максимальной точности модели ИС объясняется тем соображением, что ИС используются для идентификации моделей других устройств и изучения различных явлений. Погрешность модели ИС увеличивает недостоверность модели исследуемого явления. В метрологии используются явления, которые описываются с точностью до 10-2–10-6, а в случае некоторых величин и эталонов — с точностью до 10-8–10-12. Никакие другие явления и устройства не моделируются с такой точностью.
Человек своими органами чувств воспринимает лишь некоторые явления. Поэтому для восприятия обычно применяются измерительные средства, которые, реагируя на исследуемое явление, преобразуют измеряемую характеристику х в величину, доступную органам чувств человека. Таким образом, измеряемая величина х является входной величиной ИС, тогда как выходная величина у, будучи отображением измеряемой величины, воспринимается наблюдателем (человеком).
Поскольку ИС нужна для измерения величины х, а не выходной величины у, то приходится устанавливать отображение состояний у в значениях измеряемой величины х; это отображение обозначено символом х*.
В ИС происходят следующие преобразования, представленные на рис. 3.1 (для описания применена двойная символика, принятая в гл. 1 и использованная в последующих главах).
1. Состояния αχ измеряемой величины х в состояние аy выходной величины у измерительной системы,
аx 
аy либо х у.
Здесь отображение осуществляется посредством физического преобразования, описываемого уравнением преобразования
ay=F(ax) либо y=F(x). (3.1)
2. Состояния a y выходной величины у в значение by* этой величины,
аy by* либо у y*.
Такое преобразование рассматривается в гл. 1, а функция отображения записывается в виде b*=f(a).
3. Значения by* выходной величины у ИС в значение b* измеряемой величины х,
by* bx* либо у* х*.
Рис. 3.1. Структура математической модели ИС:
а — формальные отображения; б — реализованные отображения; в — общая модель
Это отображение, реализованное в сфере абстракции, получается с помощью процедуры воспроизведения значения измеряемой величины на основе значения выходной величины,
bx*=f * -1 (by*) либо x *= f * -1 (y *). (3.2)
Приведенные выше преобразования можно записать совместно, а именно:
bx*= f * -1 { fy [ F (ax)]}(3.3a)
либо
x*= f * -1 { fy [ F (x)]}(3.3б)
Поскольку измерительная шкала измеряемой величины определяется функцией fx, как в (1.29),
bx=fx (ax) либо x*=fx (x),
то должно выполняться равенство
f * -1 [ f y(F)]= fx (3.4a)
или
f * -1 f y F = fx, (3.4б)
где f, f * -1, F — функции или операторы.
Вышеприведенную взаимосвязь можно интерпретировать двояко:
1. Шкала fx величины х, измеряемой данной ИС, зависит от шкалы fy выходной величины у и от математической модели ИС. Путем подбора свойств элементов ИС, описываемых моделью F, а также процедуры воспроизведения измеряемой величины f-1 * эту шкалу можно сформировать по-разному.
2. Поскольку шкалы fx, fy измеряемой величины х и выходной величины у приняты повсеместно (метрические шкалы), то условием правильного измерения (для fx=fy=f) является такая процедура отображения f -1 *, при которой
f * -1 fF = f, (3.4в)
f * -1 =F -1 (3.4г)
в случае линейных операторов.
На практике применяется понятие процедура градуировки,согласно которому состояниям аy выходной величины у измерительной системы придается мера bx* измеряемой величина х, т. е. процедура градуировки описывает (совместно) два последних отображения, представленных на рис. 3.1а:
ay bx* либо y х*.
Это функция или оператор f -1, значит (рис. 3.1. б)
bx * = f -1 (αy) либо х* = f -1 (у). (3.5)
С учетом того, что физическое преобразование x y* в ИС описывается оператором F (3.1), получаем
bx* = f -1 [ F (ax)](3.6а)
либо
x*= f -1 [ F (x)]. (3.6б)
Область определения отображения (3.6) — действительность, в которой существуют состояния аx измеряемой характеристики х, а область значений — числовая ось, на которой стрелка или другого типа индикатор отмечает значение bx* измеряемой величины х.
В целом отображения типа (3.3) и (3.6) называются математической моделью ИС. Эта модель слагается из трех или двух частей, представленных на рис. 3.1, α и б. Первая часть описывает действие технического устройства, в которое введена измеряемая величина х;характерное состояние у этого устройства может быть непосредственно либо косвенно воспринято человеком.
Вторая часть модели ИС по рис. 3.1, б — процедура градуировки, после выполнения которой устройство становится измерительной системой.
Результат действия ИС искажен погрешностью
D= x* - x 
0.(3.7)
Одна из причин появления погрешностей — влияние условий среды на свойства ИС, описываемые уравнением преобразования (3.1). Условия среды характеризуют воздействующие величины, такие как температура, напряжение питания, влажность, местоположение и т. п., обозначаемые в общем виде символами x1,x2,…,xm-1. Обозначая, кроме того, измеряемую величину x=хт, получаем в итоге т входных величин, как это показано на рис. 3.1, в. Выходной величиной является показание ИС, считываемое в значениях х* измеряемой величины (это показание можно обозначить символом у).
Изменчивость воздействующих величин вызывает неоднозначность зависимости y=F(x) и ввиду этого — возникновение погрешностей (3.7).
