Числовые характеристики биноминального распределения

 

Теорема 13.3. Математическое ожидание биноминальной величины равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании

 

.

 

Доказательство. Случайная величина , распределенная по биноминальному закону, определяется числом появлении события при n испытаниях. Вероятность появления такого события в одном испытании равна p, непоявления –

Пусть – число появлений события при -ом испытании. Ясно, что может принять только два значения: 1 с вероятностью p(т.е. событие произошло)и0 с вероятностью q (т.е. не произошло)и, следовательно,

.

 

Однако , т.е. число появлений события в одной серии испытаний n можно рассматривать как сумму случайных величин.

 

Поэтому – числа появлений события в каждом испытании.

 

Теорема 13.4. Дисперсия биноминальной величины равна числу испытаний, умноженному на произведение вероятностей появления и непоявления события в каждом испытании

.

 

Случайная величина , распределенная по биноминальному закону, представляет число появлений события при n независимых испытаниях, когда вероятность появления события равна p, а непоявления – .

Пусть - число появлений события при i -ом испытании, причем может принять только два значения: 1 с вероятностью p, (т.е . произошло) и 0 с вероятностью q (т.е. не произошло). Тогда .

Находим Так как есть сумма независимых случайных величин, то

 

.

 

Пример 13.9. Вероятность выигрыша в каждой шахматной партии для некоторого игрока постоянна и равна 0,8. Составить ряд распределения вероятностей числа выигрышей игроком в пяти партиях, построить многоугольник распределения, найти числовые характеристики.

Случайная величина – число побед в пяти партиях является биноминальной величиной. По условию n= 5; p= 0,8; q= 0,2; X=0, 1, 2, 3, 4, 5. Рассчитаем вероятности по формуле Бернулли:

 

;

 

 

 

 

 

 

1. Составим ряд распределения:

 

	0,0003	0,0064	0,0512	0,2048	0,4096	0,3277

 

2. Построим полигон распределения (рис. 13.5):

 

 

Рис. 13.5

 

3. Находим числовые характеристики

 

.

 

.

 

В среднем можно выиграть 4 партии. Вычисления и можно проверить по определению. Например:

 

= 0,0064 + 0,1024 + 0,6144 + 1,6389 + 1,6385 = 4,001.

 

Пример 13.10. Вероятность отказа детали за время испытания на надежность равна 0,2. Найти – числа отказавших деталей, если испытанию на надёжность подлежат 10 деталей.

 

Биномиальная величина – число отказавших деталей. По условию n = 10; p = 0,2; q = 0,8. , значит в среднем за время испытаний из 10 деталей отказывают 2; .

 

Эту задачу можно было решить путем составления ряда распределения числа отказавших деталей и затем вычисления