Направление выпуклости кривой. Точки перегиба

График функции называется выпуклым на интервале , если он расположен ниже любой своей касательной, проведенной в любой точке этого интервала. График функции называется вогнутым, интервале , если он расположен выше любой своей касательной, проведенной в любой точке этого интервала. Точка графика функции, отделяющая его выпуклую часть от вогнутой части, называется точкой перегиба.

Достаточные условия выпуклости (вогнутости) графика функции. Если в интервале , то график функции является выпуклым в этом интервале. Если , то в этом интервале график функции вогнутый.

В точке перегиба графика функции вторая производная равна нулю или не существует. Точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует, называются критическими точками второго рода. Если в некоторой точке , бесконечна или вовсе не существует и меняет знак при переходе через точку , то график функции в точке имеет перегиб. Если сохраняет знак, то перегиба нет.

Найти интервалы выпуклости и точки перегиба функции:

1. .

Ответ: выпукла на ;

вогнута на ; очки перегиба .

2. .

Ответ: выпукла на ;

вогнута на ; точка перегиба .

3. .

Ответ: выпукла на ;

вогнута на ; точек перегиба нет.

4. .

Ответ: выпукла на ;

вогнута на ; точки перегиба .

5. .

Ответ: выпукла на ;

вогнута на ; точка перегиба .

6. .

Ответ: выпукла на ;

вогнута на ; точка перегиба .

7. .

Ответ: выпукла на ;

вогнута на ; точки перегиба .

8. .

Ответ: выпукла на ;

вогнута на ; точки перегиба .

9. .

Ответ: выпукла на ;

вогнута на ; точки перегиба , .

10. .

Ответ: выпукла на ;

вогнута на ; точки перегиба .

11. .

Ответ: выпукла на ;

вогнута на ; точки перегиба .

12. .

Ответ: выпукла на ;

вогнута на ; точки перегиба .

13. .

Ответ: выпукла на ;

вогнута на ; точки перегиба .

14. .

Ответ: выпукла на ;

вогнута на ; точки перегиба .

15. . Ответ: выпукла на ;

вогнута на ; точек перегиба нет.

16. . Ответ: выпукла на ;

вогнута на , точка перегиба .

17. . Ответ: точка перегиба .

18. . Ответ: точка перегиба .

19. . Ответ: точка перегиба .

20. При каких значениях параметра функция имеет точки перегиба? Ответ: .

21. Доказать, что график функции имеет точки перегиба, лежащие на одной прямой.

22. Доказать, что точки перегиба графика функции лежат на кривой .

23. Может ли точка перегиба функции быть ее точкой экстремума?

24. Может ли всюду выпуклая (вогнутая) функция иметь более одного экстремума?

Доказать неравенство:

25. .

26. .

27. .

28. .

29. .

30. .

31. .

Асимптоты кривой

Пусть для функции существует такая прямая, что расстояние от точки графика функции до этой прямой стремится к нулю при бесконечном удалении точки о начала координат. Такая прямая называется асимптотой графика функции.

Если или , то прямая является вертикальной асимптотой графика функции .

Если существует конечный предел , то прямая с уравнением является горизонтальной производной графика функции.

Прямая является наклонной асимптотой графика функции, если существуют конечные пределы вида , . Если хотя бы один из указанных пределов не существует или равен бесконечности, то у функции наклонных асимптот нет.

Если функция задана параметрически то исследуют, нет ли таких значений параметра , при которых функции или одна из них обращается в бесконечность.

Уравнение наклонной асимптоты имеет вид , где , , причем .

Если при , то график функции имеет вертикальную асимптоту . Если при , то график функции имеет горизонтальную асимптоту .

Если кривая задана уравнением в полярной системе координат, то преобразовав уравнение кривой к параметрическому виду по формулам ее асимптоты находят по предыдущему правилу.

Если функция задана неявно уравнением , то для отыскания асимптот в ряде случаев удобнее представить ее в полярных координатах или перейти к параметрическому виду.

Пример 1. Найти асимптоты графика функции .

Решение: При функция терпит разрыв, причем , . Значит, прямая является вертикальной асимптотой. Находим параметры наклонной асимптоты , . Следовательно, уравнение наклонной асимптоты имеет вид .

Пример 2. Найти асимптоты графика функции .

Решение: Так как , то прямые и будут вертикальными асимптотами. Так как при предел , то прямая является горизонтальной асимптотой. Наклонных асимптот нет, так как и .

Пример 3. Найти асимптоты графика функции .

Решение: Функция не определена в точке . Но существует предел . Бесконечных разрывов нет. Точка - устранимая точка разрыва. Вертикальных асимптот нет.

Определим наклонные асимптоты:

, , следовательно, будет горизонтальной асимптотой.

Данная кривая бесчисленное множество раз пересекает свою асимптоту , переходя с одной ее стороны на другую в точках , и неограниченно приближается к ней.

Пример 4. Найти асимптоты графика функции

Решение: При . Следовательно, является горизонтальной асимптотой. При , следовательно, есть вертикальная асимптота.

Пример 5. Найти асимптоты графика функции

Решение: При функция стремится к бесконечности.

, ,

Следовательно, наклонные асимптоты имеют вид , .

Пример 6. Найти асимптоты графика функции .

Решение: Приведем уравнение, заданное в полярных координатах, к параметрическому виду: где - параметр. При . Следовательно, график функции имеет горизонтальную асимптоту .