Максимум и минимум функции

Точка называется точкой максимума или минимума функции , если в некоторой окрестности точки выполняется неравенство или соответственно. Значения функции в точке называются соответственно максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функции называется экстремумом функции. Значения аргумента, при которых функция имеет экстремум, называются критическими точками первого рода.

Чтобы найти экстремальные значения функции, надо найти ее производную и, приравняв ее к нулю, решить уравнение . Корни этого уравнения, а также точки, в которых производная не существует, являются критическими точками первого рода.

Если знак производной при переходе через точку меняется с плюса на минус, то есть точка максимума. Если знак производной при переходе через точку меняется с минуса на плюс, то есть точка минимума. Если знак не меняется, то в точке экстремума нет.

Иногда проще исследовать критическую точку по знаку второй производной. Если в критической точке, где первая производная равна нулю, , то есть точка минимума. Если , то есть точка максимума. Если , то такую точку исследуют по первой производной.

Если функция задана неявно , то для того, чтобы , должно выполняться равенство . Здесь , производные от функции по и , найденные в предположении, что и не зависят от и , соответственно. Решая совместно и , находим критические точки. Экстремум функции в критических точках находят по знаку второй производной . Если в критической точке , то это точка максимума. Если , то это точка минимума.

Пример 1. Исследовать на экстремум функцию .

Решение: Находим производную и приравняем ее к нулю . Корни этого уравнения , являются критическими точками.

При переходе через точку производная знака не меняет, т.к. данный множитель в квадрате, а при переходе через точку меняет знак с минуса на плюс. Значит, в точке функция имеет минимум. Находим экстремальные значения функции, а именно минимум функции .

Пример 2. Исследовать на экстремум функцию .

Решение: Находим первую производную и приравняем ее к нулю . Корни этого уравнения , , являются критическими точками. Находим вторую производную и выясним знак второй производной в критических точках: - функция имеет максимум; - функция имеет минимум; функция имеет минимум. Определяем экстремальные значения функции: - максимум функции; - минимум функции; - минимум функции.

Пример 3. Исследовать на экстремум функцию .

Решение: Находим первую производную и приравниваем ее к нулю . Корни этого уравнения , Являются критическими точками. Находим вторую производную и выясним знак в критических точках.

В точке вторая производная - функция имеет максимум. В точке вторая производная , следовательно, судить об экстремуме нельзя. Проверим наличие экстремума по первой производной. Поскольку при переходе через точку первая производная знака не меняет, то в точке экстремума нет.

Определяем в точке максимальное значение функции .

Пример 4. Исследовать на экстремум функцию .

Решение: Функция определена на всей числовой оси. Находим производную . Приравниваем производную к нулю и находим критическую точку . При переходе через точку производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, в точке функция имеет минимум .

Приравнивая к нулю знаменатель производной, получаем . Отсюда находим критическую точку функции , в которой производная не существует. Очевидно, что в точке производная , а в точке производная . Следовательно, есть точка максимума функции .

Пример 5. Исследовать на экстремум функцию .

Решение: Функция задана неявно. Находим и . Производная тогда, когда , т.е. .

Решая систему уравнений находим критическую . Вычисляем вторую производную . В критической точке и , если , и , если . Таким образом, функция при имеет минимум, а при имеет максимум.