Возрастание и убывание функций. Возрастание и убывание функции характеризуется знаком ее производной

Возрастание и убывание функции характеризуется знаком ее производной. Если внутри некоторого промежутка , то функция возрастает. Если , то в этом промежутке функция убывает.

При практическом исследовании функции на возрастание и убывание находят точки, в которых производная равна нулю или не существует. Все эти точки вместе с возможными точками разрыва функции разбивают область существования функции на ряд промежутков, на каждом из которых вопрос о возрастании или убывании функции определяется знаком производной.

Определить промежутки монотонности функций:

Пример 1. .

Решение: Функция определена для всех значений . Производная при любом . Следовательно, функция возрастает на всей числовой оси.

Пример 2. .

Решение: Функция существует для всех . Производная . Если , то и для всех . Следовательно, функция убывает .

Пример 3. .

Решение: Функция определена для всех . В точке она терпит разрыв. Находим производную и приравниваем ее к нулю: . Это уравнение имеет два корня: . Учитывая точку разрыва , разбиваем числовую ось на промежутки и определяем знак производной на каждом из них.