Геометрический и физический смысл

Производной

Геометрически производная функции представляет угловой коэффициент касательной к графику этой функции в точке .

Если на плоскости задана точка и кривая как график явной функции то:

- уравнение касательной в точке с абсциссой ,

, - уравнение нормали в точке с абсциссой . Если , то уравнения касательной и нормали имеют вид соответственно: , .

При параметрическом задании кривой уравнения касательной и нормали записываются соответственно:

, ,

, .

Угол между кривыми и в точке их пересечения – это угол между касательными к этим кривым в точке . Этот угол находится по формуле: .

Если в точке производная не определена, но функция имеет различные односторонние пределы и , то в этой точке графика функции существуют две различные с соответствующими угловыми коэффициентами , односторонние касательные, составляющие угол, а точка называется угловой.

Если , т.е. функция имеет бесконечную производную, то она не дифференцируема в этой точке. В этом случае график функции имеет вертикальную касательную (точка перегиба).

Если в точке функция имеет бесконечные односторонние производные разных знаков, то график функции имеет две слившиеся вертикальные касательные (асимптоты).

Если при прямолинейном движении точки задан закон движения , то скорость движения в момент есть производная пути по времени: , ускорение в момент есть .

При движении точки по окружности: угловая скорость вращения в данный момент равна производной от угла поворота по времени: . Угловое ускорение точки есть первая производная от угловой скорости или вторая производная от угла поворота по времени .

Сила тока в данный момент времени равна производной от количества протекшего электричества по времени: .

Химическое истолкование производной. Пусть - концентрация вещества, получаемого в ходе химической реакции в момент времени . Тогда - скорость реакции в момент .

Пример 1. В точках пересечения эллипсов , найти угол между ними.

Решение: Эллипсы расположены симметрично относительно координатных осей. Поэтому рассмотрим только первый квадрат координатной плоскости.

Решив систему найдем точку пересечения эллипсов . Из уравнения первого эллипса получаем , т.е. . Следовательно . Аналогично, для второго эллипса получим . По формуле , получим: .

Итак, эллипсы пересекаются в четырех точках под углом , т.е. под углом, равным приблизительно .

Пример 2. Высота снаряда, вылетевшего с начальной скоростью под углом к горизонту, изменяется по закону , где - время, - ускорение силы тяжести. В какой момент скорость изменения высоты снаряда над горизонтом равна нулю?

Решение: Вычислим производную функции .

Следовательно, скорость изменения высоты снаряда нал горизонтом равна нулю при .

Найти уравнения касательной и нормали к данной кривой в данной точке:

1. , .

2. , . Ответ: , .

3. , .

4. .

5. к эллипсу , .

6. , . Ответ: .

7. ; . Ответ: .

8. , . Ответ: .

9. , . Ответ: .

10. , . Ответ: .

11. , . Ответ: .

12. , . Ответ: .

13. , . Ответ: .

14. Ответ: .

15. . Ответ: .

16. Найти углы, под которыми пересекаются линии, заданные уравнениями и . Ответ: , .

17. Найти угол между кривыми:

a) и . Ответ: .

b) и . Ответ: .

Найти углы, под которыми график функции пересекает ось абсцисс:

18. . Ответ: .

19. . Ответ: В точках синусоида

пересекает ось абсцисс под углом .

20. . Ответ: В точках угол ,

в точках угол .

21. . Ответ: .

22. .

Ответ: в точке угол , в точке угол .

23. . Ответ: .

24. . Ответ: .

25. .

Ответ: в точках и угол ,

в точке угол .

26. .

Ответ: в точке угол ,

в точке угол .

27. Ответ: .

28. Ответ: 0.

29. .

Ответ: в точке угол ,

в точке угол .

Найти точки, в которых касательные к графику функции параллельны оси абсцисс:

30. . Ответ: (-1;14), (2;-13).

31. . Ответ: (0;-1), (1;-6), (-2;-33).

32. . Ответ: (-1;-58), (1;54), (7;-2106).

33. . Ответ: .

34. . Ответ: .

35. . Ответ: .

36. . Ответ: .

37. Ответ: .

38. . Ответ: .

39. На кривой найти точку , в которой касательная параллельна прямой . Ответ: .

40. Найти точку линии , в которой касательная перпендикулярна прямой , составить уравнение этой касательной. Сделать чертеж. Ответ: .

41. Точка движется вдоль прямой по закону . Найти скорость и ускорение точки в момент времени .

Ответ: .

42. Угол поворота шкива в зависимости от времени задан формулой . Найти угловую скорость и ускорение при .

Ответ: угловая скорость равна ,

а угловое ускорение не зависит от времени и равно .

Определить, в каких точках и под каким углом пересекаются кривые:

43. , . Ответ: .

44. , . Ответ: .

45. , . Ответ: .

46. , . Ответ: .

47. , . Ответ: .

48. , . Ответ: .

49. , . Ответ: .

50. , . Ответ: .

51. и . Ответ: .

52. и . Ответ: .

53. Найти уравнение нормали к эллипсу в точке . Ответ: .

54. Найти уравнение нормали к гиперболе в точке .

Ответ: .

Найти угол между касательной и полярным радиусом точки касания для следующих кривых:

55. Спирали Архимеда . Ответ: .

56. Гиперболической спирали . Ответ: .

57. Логарифмической спирали . Ответ: .

58. Кардиоиды . Ответ: .

59. Дуги лемнискаты Бернулли . Ответ: .

60. Точка движется по параболе так, что ее абсцисса изменяется по закону ( измеряется в метрах, - в секундах). Какова скорость изменения ординаты точки через 9 с после начала движения? Ответ: .

61. Радиус шара возрастает равномерно со скоростью 5 . Какова скорость изменения объема шара в момент, когда его радиус становится равным 50 ? Ответ: 0,05 .

62. Колесо вращается так, что угол поворота пропорционален квадрату времени. Первый оборот сделан за 8 с. Найти угловую скорость через 64 с после начала движения. Ответ: .

63. По оси абсцисс движутся две точки, имеющие законы движения: и . С какой скоростью удаляются они друг от друга в момент встречи ( измеряется в метрах, - в секундах)? Ответ: .

64. Паром подтягивается к берегу при помощи каната, который наматывается на ворот со скоростью 3 . Определить скорость движения парома в тот момент, когда он находится в 25 м от берега, если ворот расположен на берегу выше поверхности воды на 4м.

Ответ: .

65. Под каким углом пересекаются кривые и в точке (1;1)? Ответ: .

66. Определить среднюю скорость изменения функции на отрезке . Ответ: .

67. Найти расстояние от полюса до произвольной касательной кривой . Ответ: .

68. Записать в декартовых и в полярных координатах уравнение нормали к кардиоиде в точке с полярным углом .

Ответ: , .

69. Точка движется по спирали Архимеда так, что угловая скорость вращения ее полярного радиуса постоянна и равна в секунду. Определить скорость удлинения полярного радиуса , если . Ответ: .

Правило Лопиталя

Пусть в некоторой окрестности точки функции и дифференцируемы и . Если или , т.е. частное в точке представляет собой неопределенность вида или , то

, если предел в правой части этого равенства существует.

Другими словами: предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует. Аналогичное утверждение справедливо и в случае, если .

Если частное в точке также есть неопределенность вида или и производные и удовлетворяют соответствующим условиям, то следует перейти к отношению вторых производных и т.д.

В случае неопределенности вида или следует алгебраически преобразовать данную функцию так, чтобы привести ее к неопределенности вида или и далее воспользоваться правилом Лопиталя.

В случае неопределенности вида или , или следует прологарифмировать данную функцию и найти предел ее логарифма.

Замечание: В правой части формулы Лопиталя берется отношение производных, а не производная отношения.

Пример 1. Найти .

Решение: Имеем неопределенность вида . Применяя правило Лопиталя, получим: .

Пример 2. Найти .

Решение: .

Неопределенность вида по-прежнему сохраняется. Применим правило Лопиталя еще раз.

Пример 3. Найти .

Решение: Имеем неопределенность вида . Переписывая выражение в виде , получим неопределенность вида . Применяя правило Лопиталя, получим .

Замечание: Если имеется неопределенность вида или при вычислении предела функции , то логарифм этой функции представляет собой неопределенность вида . При этом .

Пример 4. Найти .

Решение:

, т.к. .

Отсюда .

Правило Лопиталя является эффективным методом раскрытия неопределенностей. Однако применение его не всегда приводит к цели.

Пример 5. Найти .

Решение: Если применить правило Лопиталя, то получим

т.е. числитель и знаменатель просто меняются местами. Неопределенность же сохраняется. Если применить правило Лопиталя вторично, то функция под знаком предела примет первоначальный вид. Таким образом, использование правила Лопиталя в данном случае не позволит раскрыть неопределенность. В то же время легко установить, что .

Пример 6. Найти .

Решение: Если применить правило Лопиталя, т.е.

то можно сделать ошибочный вывод о том, что предел данной функции не существует, т.к. не существует . На самом деле , т.к. (произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию).