Производной n-го порядка называется производная от производной (n-1)-го порядка.
Пример 1. Найти производные до n-го порядка включительно от функции 
.
Решение: 
, 
, 
, 
и т. д.
Очевидно, что производная n-го порядка 
.
Вторая производная от неявной функции 
находится дифференцированием функции 
по переменной 
, учитывая при этом, что 
есть функция от .
Пример 2. Найти 
для неявной функции 
.
Решение:
Дифференцируем правую и левую часть по : 
.
Разрешая относительно производной, получим: 
.
Дифференцируем еще один раз по : 
.
Подставляя в последнее выражение значение 
, получим
.
Вторая производная от функции по , заданной параметрически, равна 
.
Третья производная 
и т.д.
Пример 3. Найти 
для функции 
.
Решение: Найдем первую производную: 
.
Вторую производную находим по формуле:
.
Производная n-го порядка от произведения двух функций удобнее находить по формуле Лейбница.
,где 
- биномиальные коэффициенты, 
, 
.
Пример 4. Найти 
для функции 
.
Решение: Положим 
, 
. Тогда 
, 
, 
, 
. По формуле Лейбница все слагаемые, кроме трех последних, равны нулю, поэтому получаем:
.
Для данных функций найти производные указанного порядка:
1. 
, -?
2. 
, -?
3. 
, -?
4. 
, -?
5. 
, 
-?
6. 
, -?
7. 
, -?
8. 
, -? Ответ: 
, 
9. 
, -? Ответ: 
.
Если 
, то 
. Если 
, то 
.
10. 
, -? Ответ: 
.
11. 
, -? Ответ: 
.
12. 
, -? Ответ: 
.
13. 
, -? Ответ: 
.
14. 
, -? Ответ: 
.
15. 
? -? Ответ: 
.
16. 
, -? Ответ: 
.
17. 
, -? Ответ: 
.
18. 
-? Ответ: 
.
19. 
-? Ответ: 
.
20. 
-? Ответ: 
.
21. 
-? Ответ: 
.
22. 
-? Ответ: 
.
23. 
-? Ответ: 
.
24. 
-? Ответ: 
.
25. 
, -? Ответ: 
.
26. 
, 
-?
Ответ: 
.
27. 
, -? Ответ:
28. 
, 
-? Ответ: 
.
29. 
, 
-?
Ответ: 
.
30. 
, 
-?
Ответ: 
.
31. 
, -? Ответ: 
.
32. 
, -? Ответ: 
.
33. 
, 
-? Ответ: 
.
34. 
, -?
Ответ: 
, где 
.
35. 
, -? Ответ: 
.
36. 
, -? Ответ: 
.
37. 
, 
-? Ответ: 
.
38. 
, -?
Ответ: 
, где 
, 
.
39. 
, 
-?
Указание: Преобразовать выражение к виду: 
.
По формуле п. 36
и 
.
.
40. 
, 
-? Ответ: 
.
Указание: в формуле п. 38 положить 
.
42. 
, 
-? Ответ: 
.
Указание: в формуле п. 38 положить 
.
41. 
, 
-? Ответ: 
.
Указание: Находим первую производную 
.
По формуле п. 36
.
43. 
, 
-?
Указание: Записать функцию в виде 
и, применяя формулу Лейбница, продифференцировать n раз. При 
будем иметь 
. Откуда при 
получим 
или 
. Полученная рекуррентная формула позволяет определить 
- ую производную в точке 
. Значения 
находятся непосредственно
, 
.
,
.
44. 
, -? Ответ: 
.
45. 
.
Дифференциал функции
Дифференциал (первого порядка) функции 
-это главная часть ее приращения, линейная относительно приращения аргумента. Дифференциал аргумента равен его приращению: 
. Дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал аргумента 
.
Основные свойства дифференциала:
1. 
, где 
- const.
2. 
.
3. 
.
4. 
.
5. 
, 
.
6. 
, 
. Форма дифференциала первого порядка не зависит от того, является аргумент функции независимой переменной или функцией другого аргумента. В этом состоит свойство инвариантности формы дифференциала первого порядка.
Дифференциалом второго порядка функции называется дифференциал от дифференциала первого порядка: 
.
Аналогично определяется дифференциал третьего порядка: 
. Дифференциал n-го порядка: 
.
Если и - независимая переменная, то дифференциалы высших порядков вычисляются по формулам:
, 
,….., 
.
Если 
, 
, то 
, где дифференцирование функции выполняется по переменной 
. Это имеет место и для дифференциалов более высоких порядков.
.
Дифференциалы второго и более высоких порядков не обладают свойством инвариантности формы.
Геометрически дифференциал представляет собой приращение ординаты касательной к графику функции в точке 
.
Если приращение аргумента мало по абсолютной величине, то 
и 
. Таким образом, дифференциал функции может применяться для приближенных вычислений.
Абсолютная величина разности между истинным значением какой-либо величины 
и ее приближенным значением 
называется абсолютной погрешностью и обозначается 
.
Абсолютная величина отношения абсолютной погрешности к истинному значению называется относительной погрешностью и обозначается 
. Относительная погрешность обычно выражается в процентах 
.
Если приращение функции заменить ее дифференциалом, то получим приближенное значение приращения . В этом случае абсолютная погрешность равна 
, а относительная погрешность будет 
.
С помощью дифференциала функции вычисляют абсолютную погрешность функции 
, если известна абсолютная погрешность 
аргумента. В практических задачах значения аргумента находятся с помощью измерений, и его абсолютная погрешность считается известной.
Пусть требуется вычислить значение функции при некотором значении аргумента , истинная величина которого нам известна, но дано его приближенное значение 
с абсолютной погрешностью 
, 
. Тогда
.
Отсюда видно, что 
.
Относительная погрешность функции 
выражается формулой
.
Пример 1. Найти дифференциал функции .
Решение: 
.
Пример 2. Найти все дифференциалы функции 
.
Решение: 
,
, 
,
, 
.
Пример 3. Найти 
для неявно заданной функции 
.
Решение: Функция задана неявно. Находим первую производную
, тогда 
.
Вычислим вторую производную
, отсюда 
.
Пример 4. Выразить дифференциал сложной функции через независимую переменную и дифференциал: 
, 
, 
.
Решение: 
. 
.
Пример 5. Вычислить приближенное значение 
.
Решение: Рассмотрим функцию 
. Полагая 
, 
и применяя формулу 
, получим:
.
Пример 6. Вычислить приближенное значение площади круга, радиус которого равен 3,02 м.
Решение: Воспользуемся формулой 
. Полагая 
, 
, имеем 
. Следовательно, приближенное значение площади круга составляет 
.
Пример 7. Для функции 
найти приращение ординаты касательной и приращение функции при переходе аргумента от значения 
к 
.
Решение: согласно геометрическому смыслу дифференциала, приращению ординаты касательной соответствует дифференциал функции 
.
При и 
получим 
.
Приращение функции находим по формуле
.
Следовательно, приращение ординаты касательной равно 0,7, а приращение функции 0,71. Т. к. 
, то 
.
Пример 8. Найти дифференциал и приращение функции 
в точке и 
. Найти абсолютную и относительную погрешности значения функции при замене приращения функции ее дифференциалом.
Решение: Имеем: 
,
.
При и получим:
, 
.
Абсолютная погрешность 
, а относительная погрешность 
.
Пример 9. При измерении сторона куба оказалась равной 4 см. При этом максимально возможная погрешность измерения 
находится в пределах 
см. Определить абсолютную и относительную погрешности при вычислении объема куба.
Решение: Объем куба равен 
см 
.
Возможная неточность измерения 
.
Отсюда абсолютная погрешность 
.
Относительная погрешность 
.
Пример 10. Найти приближенно 
.
Решение: Полагаем 
, тогда 
,
.
Если принять 
, то 
, 
.
Найти дифференциалы указанных порядков от функций:
1. 
, 
-?. Ответ: 
.
2. 
, -? Ответ: 
.
3. 
, -? Ответ: 
.
4. 
, -? Ответ: 
.
5. 
, , , 
-? Ответ: 
.
, 
.
6. 
, 
-?
Ответ: 
.
7. , 
-? Ответ: 
.
8. 
, -? Ответ: 
.
9. 
-? Ответ: 
.
10. 
-? Ответ: 
.
11. 
, -? Ответ: 
.
12. 
, 
-? Ответ: 
.
13. 
, 
. -? Ответ: 
, 
.
14. 
, 
, -?
Ответ: 
, 
.
15. 
-?
Найти приближенное значение:
16. 
. Ответ: 0,811.
17. 
. Ответ: 1,035.
18. 
. Ответ: 0,078.
19. 
. Ответ: 1,9938.
20. 
. Ответ: 2,02.
21. 
. Ответ:3,03.
22. 
. Ответ: 
.
23. 
. Ответ: 
.
24. 
. Ответ: 0,1.
25. 
. Ответ: 
.
26. Определить, на сколько приблизительно увеличится объем шара, если его радиус 
см увеличить на 0,2см. Ответ: 565 
.
27. Вычислить приближенное значение площади круга, радиус которого равен 3,02 м. Ответ: 
.
28. Сравнить приращение и дифференциал функции 
.
Ответ: 
, 
.
29. Вычислить 
, для функции 
при 
и .
Ответ: 
, 
.
30. Найти приближенное значение объема шара радиуса 2,01 м.
Ответ: 
.
31. Найти приближенное значение из уравнения:
. Ответ: 
.
32. Найти приближенно значение объема шара радиуса 
.
Ответ: 
.
33. Ребра куба увеличены на 1см. При этом дифференциал 
объема 
куба оказался равным 12 см . Найти первоначальную длину ребер. Ответ: 2 см.
34. Радиус круга увеличен на 1см. Дифференциал площади круга оказался при этом равным 
см 
. Найти первоначальную величину радиуса. Ответ: 3 см.
35. Определить приблизительно относительную погрешность при вычислении поверхности сферы, если при определении ее радиуса относительная погрешность составила 
. Ответ: 
.
