Специальные приемы дифференцирования

Алтайский государственный технический университет им. И.И. Ползунова

СБОРНИК ЗАДАНИЙ

ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

КУРС

СЕМЕСТР

Часть

Дифференциальное исчисление

Функций одного переменного

 

Г. БАРНАУЛ

Год

Составитель: Исаева М.В.

Данный сборник заданий для практических занятий по математике является составной частью комплекса сборников, направленных на активизацию работы студентов по изучению программы курса.

В сборник включены: программа второго семестра дисциплины ЕН.Ф.01 «МАТЕМАТИКА», список рекомендуемой литературы, основные положения учебного материала, дополненные задачами с решениями, наборы заданий различной степени сложности по дифференциальному исчислению функции одного переменного

Краткие теоретические сведения, снабженные большим количеством примеров с иллюстрацией методов их решения, позволяют использовать сборник для различных видов обучения, в том числе для самостоятельной работы студентов и для аудиторных занятий.

Для студентов групп СТФ.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Дифференциальное исчисление функции одного переменного ……………..………………………………………..……….3

1. Непосредственное дифференцирование…………….......................…….3

- Правила дифференцирования….……..……………………………….3

- Таблица производных элементарных функций……………………....4

2. Специальные приемы дифференцирования……………..........…….............10

2.1. Логарифмическое дифференцирование……………………....…..10

2.2. Дифференцирование функций, заданных неявно………………..10

2.3. Дифференцирование функций, заданных параметрически……..11

3. Производные высших порядков….......................................................... 12

4. Дифференциал функции ……………………..………………................17

5. Геометрический и физический смысл производной.………..………...22

6. Правило Лопиталя…………………………………….………………....29

7. Примерный вариант контрольной работы …………….………………35

8. Возрастание и убывание функций……………………………….……..35

9. Максимум и минимум функции………………………………………. 38

10. Наибольшее и наименьшее значение функции………………………42

11. Решение задач на максимум и минимум……………………………..44

12. Направление выпуклости кривой. Точки перегиба………………….46

13. Асимптоты кривой……………………………………………………..49

14. Исследование функции и построение графиков……………………..53

15. Варианты типового расчета…………..……………..............................57

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

 

Непосредственное дифференцирование

Производной от функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента

.

Если этот предел конечный, то функция называется дифференцируемой в точке .

Процесс нахождения производной называется дифференцированием функции.

Числа и называются соответственно левой и правой производными функции в точке . Для существования производной функции в точке необходимо и достаточно, чтобы ее левая и правая производная в этой точке существовали и были равны между собой: .

Правила дифференцирования

 

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) , ;

7) , ;

8) если , , т.е. - сложная функция, составленная из дифференцируемых функций, то

или ;

9) если для функции существует обратная дифференцируемая функция и , то .

 

 

Таблица производных элементарных функций

 

1) , , . В частности: ; ;

2) , ; 3) ;

4) , ; 5)

6) ; 7) ;

8) ; 9) ;

10) ; 11) ;

12) ; 13) ;

14) , ; 15) , ;

16) , ; 17) , .

 

Пример 1. Пользуясь только определением производной, найти :

a) .

Имеем:

.

b) ;

c) ;

d) ;

e) ;

f) ;

g) ;

h) .

 

Пример 2. Для заданной функции найти и :

a) ,

Имеем и

.

b) ,

c) ,

d) ,

Пример 3. Найти производные , для функций:

а) .

Находим производную

Вычислим пределы производной слева и справа в точке :

, .

b) , ;

c) , .

 

Пример 4. Найти производные функций:

а) , .

Представим функцию в виде

тогда

Функция не имеет производной в точке ,

так как , а .

b) ;

c) ;

d) ;

e) .

 

Пример 5. Найти производные:

а) .

Преобразуем функцию к виду, удобному для дифференцирования. Пользуясь основными правилами дифференцирования и таблицей производных, имеем

, .

b) .

По формуле производной произведения двух функций:

.

с) .

По формуле производной частного двух функций:

.

d) .

Упростим логарифмируемое выражение:

.

По правилам дифференцирования имеем:

.

e) Найти производную функции .

Правило дифференцирования сложной функции: () .

Полагая и , имеем и . Отсюда, согласно (), получаем .

f) .

Упростим логарифмическое выражение:

.

Дифференцируем как сложную функцию:

f) .

Дифференцируем как сложную функцию:

.

 

Пример 6. Найти производные гиперболических и обратных к ним функций:

a) (гиперболический синус),

b) (гиперболический косинус),

c) (гиперболический тангенс),

d) (гиперболический котангенс).

 

Свойства:

; ; ; ; .

 

e) .

По правилу дифференцирования обратной функции получим: .

Переходя к обычным обозначениям, имеем: .

f) .

По правилу дифференцирования обратной функции получим:

.

Переходя к обычным обозначениям, имеем:

, .

g) . ; .

h) ; , .

i) . По правилу дифференцирования сложных функций имеем: .

j) . По правилу дифференцирования сложных функций имеем: .

 

Пример 7. Найти производные функций:

a) .

Если основание логарифма является некоторой функцией , то при нахождении производной целесообразно перейти к натуральным логарифмам

, .

.

b) .

Перейдем к натуральному логарифму .

Отсюда . ;

c) .

.

 

Найти производные следующих функций:

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. . 8. .

9. . 10. .

11. . 12. .

13. . 14. .

15. , перед дифференцированием лучше упростить выражение с помощью свойств логарифмов: .

16. . 17. ;

18. . 19. .

20. . 21. .

22. . 23. .

24. . 25. .

26. . 27. .

28. . 29. .

30. . 31. .

32. . 33. .

34. . 35. .

36. . 37. .

38. . 39. .

 

Найти производные функций и вычислить их значения в точке :

1. , . 2. , .

3. , . 3. , .

 

Самостоятельная работа

 

Продифференцировать данные функции:

 

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. . 8. .

9. . 10. .

11. . 12. .

13. . 14. .

15. . 16. .

17. . 18. .

19. . 20. .

21. . 22. .

23. . 24. .

 

 

Специальные приемы дифференцирования