Алтайский государственный технический университет им. И.И. Ползунова
СБОРНИК ЗАДАНИЙ
ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
КУРС
СЕМЕСТР
Часть
Дифференциальное исчисление
Функций одного переменного
Г. БАРНАУЛ
Год
Составитель: Исаева М.В.
Данный сборник заданий для практических занятий по математике является составной частью комплекса сборников, направленных на активизацию работы студентов по изучению программы курса.
В сборник включены: программа второго семестра дисциплины ЕН.Ф.01 «МАТЕМАТИКА», список рекомендуемой литературы, основные положения учебного материала, дополненные задачами с решениями, наборы заданий различной степени сложности по дифференциальному исчислению функции одного переменного
Краткие теоретические сведения, снабженные большим количеством примеров с иллюстрацией методов их решения, позволяют использовать сборник для различных видов обучения, в том числе для самостоятельной работы студентов и для аудиторных занятий.
Для студентов групп СТФ.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Дифференциальное исчисление функции одного переменного ……………..………………………………………..……….3
1. Непосредственное дифференцирование…………….......................…….3
- Правила дифференцирования….……..……………………………….3
- Таблица производных элементарных функций……………………....4
2. Специальные приемы дифференцирования……………..........…….............10
2.1. Логарифмическое дифференцирование……………………....…..10
2.2. Дифференцирование функций, заданных неявно………………..10
2.3. Дифференцирование функций, заданных параметрически……..11
3. Производные высших порядков….......................................................... 12
4. Дифференциал функции ……………………..………………................17
5. Геометрический и физический смысл производной.………..………...22
6. Правило Лопиталя…………………………………….………………....29
7. Примерный вариант контрольной работы …………….………………35
8. Возрастание и убывание функций……………………………….……..35
9. Максимум и минимум функции………………………………………. 38
10. Наибольшее и наименьшее значение функции………………………42
11. Решение задач на максимум и минимум……………………………..44
12. Направление выпуклости кривой. Точки перегиба………………….46
13. Асимптоты кривой……………………………………………………..49
14. Исследование функции и построение графиков……………………..53
15. Варианты типового расчета…………..……………..............................57
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Непосредственное дифференцирование
Производной от функции 
в точке 
называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента
.
Если этот предел конечный, то функция называется дифференцируемой в точке .
Процесс нахождения производной называется дифференцированием функции.
Числа 
и 
называются соответственно левой и правой производными функции 
в точке . Для существования производной функции в точке необходимо и достаточно, чтобы ее левая и правая производная в этой точке существовали и были равны между собой: 
.
Правила дифференцирования
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
;
5) 
;
6) 
, 
;
7) 
, ;
8) если 
, 
, т.е. 
- сложная функция, составленная из дифференцируемых функций, то
или 
;
9) если для функции существует обратная дифференцируемая функция 
и 
, то 
.
Таблица производных элементарных функций
1) 
, 
, 
. В частности: 
; 
;
2) 
, 
; 3) 
;
4) 
, 
; 5) 
6) 
; 7) 
;
8) 
; 9) 
;
10) 
; 11) 
;
12) 
; 13) 
;
14) 
, 
; 15) 
, 
;
16) 
, 
; 17) 
, 
.
Пример 1. Пользуясь только определением производной, найти 
:
a) 
.
Имеем: 
.
b) 
;
c) 
;
d) 
;
e) 
;
f) 
;
g) 
;
h) 
.
Пример 2. Для заданной функции найти 
и 
:
a) 
, 
Имеем 
и
.
b) 
, 
c) , 
d) , 
Пример 3. Найти производные 
, 
для функций:
а) 
.
Находим производную 
Вычислим пределы производной слева и справа в точке :
, 
.
b) 
, ;
c) 
, 
.
Пример 4. Найти производные функций:
а) 
, 
.
Представим функцию в виде
тогда 
Функция не имеет производной в точке ,
так как 
, а 
.
b) 
;
c) 
;
d) 
;
e) 
.
Пример 5. Найти производные:
а) 
.
Преобразуем функцию к виду, удобному для дифференцирования. Пользуясь основными правилами дифференцирования и таблицей производных, имеем
, 
.
b) 
.
По формуле производной произведения двух функций:
.
с) 
.
По формуле производной частного двух функций:
.
d) 
.
Упростим логарифмируемое выражение:
.
По правилам дифференцирования имеем:
.
e) Найти производную функции 
.
Правило дифференцирования сложной функции: (
) 
.
Полагая 
и 
, имеем 
и 
. Отсюда, согласно (), получаем 
.
f) 
.
Упростим логарифмическое выражение:
.
Дифференцируем как сложную функцию:
f) 
.
Дифференцируем как сложную функцию:
.
Пример 6. Найти производные гиперболических и обратных к ним функций:
a) 
(гиперболический синус),
b) 
(гиперболический косинус),
c) 
(гиперболический тангенс),
d) 
(гиперболический котангенс).
Свойства:
; 
; 
; 
; 
.
e) 
.
По правилу дифференцирования обратной функции получим: 
.
Переходя к обычным обозначениям, имеем: 
.
f) 
.
По правилу дифференцирования обратной функции получим:
.
Переходя к обычным обозначениям, имеем:
, 
.
g) 
. 
; 
.
h) 
; 
, .
i) 
. По правилу дифференцирования сложных функций имеем: 
.
j) 
. По правилу дифференцирования сложных функций имеем: 
.
Пример 7. Найти производные функций:
a) 
.
Если основание логарифма 
является некоторой функцией 
, то при нахождении производной целесообразно перейти к натуральным логарифмам
, 
.
.
b) 
.
Перейдем к натуральному логарифму 
.
Отсюда 
. 
;
c) 
.
.
Найти производные следующих функций:
1. 
. 2. 
.
3. 
. 4. 
.
5. 
. 6. 
.
7. 
. 8. 
.
9. 
. 10. 
.
11. 
. 12. 
.
13. 
. 14. 
.
15. 
, перед дифференцированием лучше упростить выражение с помощью свойств логарифмов: 
.
16. 
. 17. 
;
18. 
. 19. 
.
20. 
. 21. 
.
22. 
. 23. 
.
24. 
. 25. 
.
26. 
. 27. 
.
28. 
. 29. 
.
30. 
. 31. 
.
32. 
. 33. 
.
34. 
. 35. 
.
36. 
. 37. 
.
38. 
. 39. 
.
Найти производные функций и вычислить их значения в точке :
1. 
, . 2. 
, 
.
3. 
, 
. 3. 
, .
Самостоятельная работа
Продифференцировать данные функции:
1. 
. 2. 
.
3. 
. 4. 
.
5. 
. 6. 
.
7. 
. 8. 
.
9. 
. 10. 
.
11. 
. 12. 
.
13. 
. 14. 
.
15. 
. 16. 
.
17. 
. 18. 
.
19. 
. 20. 
.
21. 
. 22. 
.
23. 
. 24. 
.
Специальные приемы дифференцирования
