Аналитические выражения для моментов силы относительно осей координат

Момент силы относительно оси - проекция на эту ось момента силы относительно любой точки лежащей на оси.

Момент сил относительно декартовых осей координат (проекции момента силы на эти оси).

| i j k |

M0(F) = r * F = | x y z | = (y*Fz - z*Fy)*i + (z*Fx - x*Fz)*j + (x*Fy - y*Fx)*k = Mox(F)*i + Moy(F)*j + Moz(F)*k

| Fx Fy Fz |

Mox(F)=y*Fz - z*Fy

Moy(F)=z*Fx - x*Fz

Moz(F)=x*Fy - y*Fx

Дополнение:

 

 

Пара сил. Теорема о сумме моментов сил, составляющих пару, относительно произвольной точки.

Пара сил - система двух сил равных по модулю и противоположных по направлению.

F1 = -F2

R* = F1 - F2 = 0

AC/F2 = BC/(R*) (стремится к бесконечности)

(F1,F2) не эквивалентны 0

Момент пары сил - произведение одной из сил на ее плечо.

M(F1,F2) = M12 = ±F1*d = ±F2*d

Векторный момент пары сил.

MA = AB * F2

MA = F2 * AB * sinα = F2d

MB = BA * F1 = F1 * d

M = MA = MB = S(ACBD)

Теорема о сумме моментов сил, составляющих пару, относительно произвольной точки: Сумма моментов сил, входящих в состав пары сил относительно любой точки не зависит от ее выбора и равна моменту этой пары сил.

F1 = -F2

Mo(F2) + Mo(F1) = r2*F2 + r1*F1 = r2*F2 - r1*F2 = (r2 - r1)*F2 = AB * F2 = M(F1,F2)

 

Векторный и алгебраический моменты пары сил.

Алгебраический момент M=±F•d (пара). M=±dF1=±dF2=±2SΔABC= ±S. Он не меняется при перемещении сил вдоль линии их действия (ни плечо, ни направление вращения не меняются).

Векторный момент – вектор M = M (F, F’), направлен перпендикулярно плоскости пары в ту сторону, откуда видно стремление пары повернуть тело против часовой хода стрелки, его модуль равен алгебраическому моменту пары.
M (F 1, F 2)= BA x F 1= AB x F 2.

Дополнение:

(+ 32) Момент силы относительно оси)

 

Эквивалентность пар. Сложение пар. Условия равновесия пар сил.

Эквивалентность: А) 2 пары, имеющие равные моменты, эквивалентны. Пару сил можно перемещать, поворачивать в плоскости действия, перемещать в параллельную плоскость, менять одновременно силу и плечо.
Б) 2 пары, лежащие в одной плоскости, можно заменить на одну пару, лежащую в той же плоскости с моментом, равным сумме моментов этих пар.
M=M(R,R’)= BA × R = BA ×(F 1+ F 2)= BA × F 1+ BA × F 2. При переносе сил вдоль линии действия момент пары не меняется Þ BA × F 1=M1, BA × F 2=M2, M=M1+M2.
СЛОЖЕНИЕ. 2 пары, лежащие в пересекающихся плоскостях, эквивалентны 1 паре, момент которой равен сумме моментов двух данных пар.
Дано: (F 1, F 1’), (F 2, F 2’)
Доказательство:
Приведем данные силы к плечу АВ – оси пересечения плоскостей. Получим пары:
(Q 1, Q 1’) и (Q 2, Q 2’). При этом M 1= M (Q 1, Q 1’)= M (F 1, F 1’),
M 2= M (Q 2, Q 2’)= M (F 2, F 2’).
Сложим силы R = Q 1+ Q 2, R’ = Q 1’+ Q 2’. Т. к. Q 1’= - Q 1, Q 2’= - Q 2 Þ R = - R ’. Доказано, что система двух пар эквивалентна системе (R, R ’). M (R, R ’)= BA × R = BA ×(Q 1+ Q 2)= BA × Q 1+ BA × Q 2= M (Q 1, Q 1’)+ M (Q 2, Q 2’)= M (F 1, F 1’)+ M (F 2, F 2’) Þ M = M 1+ M 2.
УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ:
Система находится в равновесии, если суммарный момент всех пар сил, действующих на тело, равен нулю.

M 1+ M 2+…+ M n=0.