Тема: «Многопролетные статически определимые (шарнирные балки)»
Цель работы:
Выполнение аналитического расчета многопролетных статически определимых (шарнирных балок).
Студент должен знать:
- порядок составления схем взаимодействия;
- методику расчета шарнирных балок.
Студент должен уметь:
- строить этажные схемы;
- строить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.
Вопросы для самоконтроля:
1. Какое различие между многопролетными статически определимыми и статически неопределимыми системами?
- Каковы условия статической определимости и геометрической неизменяемости?
- Назовите основные типы шарнирных балок.
- Как получить статически определимую балку из статически неопределимой?
- Каков порядок расчета многопролетной статически определимой балки?
- Что такое поэтажная система расчета многопролетной статически определимой балки?
- Какова последовательность монтажа для многопролетной статически определимой балки?
- В чем достоинство равномоментных шарнирных балок? Что такое наивыгоднейшее расположение шарниров в балке?
Методические указания
Для перекрытия нескольких пролетов могут использоваться простые балки (однопролетные с шарнирными опорами), неразрезные (статически неопределимые балки, имеющие непрерывное строение по всей своей длине с числом пролетов от двух и более) и многопролетные шарнирные балки.
Многопролетная шарнирная балка - геометрически неизменяемая статически определимая система, составленная из расположенных в определенной последовательности однопролетных консольных или только одних консольных балок, соединенных между собой шарнирами.
Преимущества шарнирных балок:
· Нагрузки, действующие на консоли балок, являющихся составными частями шарнирной балки, уменьшают величины максимальных изгибающих моментов в ее пролетах, поэтому шарнирные балки требуют меньшего расхода материала по сравнению с простыми балками;
· Неравномерное изменение температуры по высотешарнирных балок не вызывает в них дополнительных напряжений.
Недостатки шарнирных балок:
· Наличие шарниров усложняет изготовление и монтаж балок, обуславливает перелом упругой линии в местах установки шарниров, что при подвижной нагрузке вызывает толчки и удары;
· Обрушение одного пролета шарнирной балки может вызвать обрушение других;
· Устройство промежуточных шарниров требует дополнительных затрат.
Для того, чтобы рассчитать многопролетную неразрезную балку, необходимо её разрезать на отдельные части в тех местах, где изгибающие моменты равны нулю, и соединить разрезные части шарнирами.
Тогда многопролетная неразрезная статически неопределимая балка превратится в статически определимую. Каждый дополнительный промежуточный шарнир позволяет записать дополнительное управление статики - условие равенства нулю изгибающего момента в этом шарнире.
Для того, чтобы шарнирная многопролетная балка была статически определимой, число промежуточных поставленных шарниров (Ш) должно равняться степени статической неопределимости (Л).
Ш=Л=Н-3,
где: Н - количество неизвестных опорных реакций;
3 - количество уравнений равновесия статики.
При составлении схемы многопролетной шарнирной балки, имеющей геометрическую неизменяемость, статическую определимость, следует пользоваться правилами:
1. В каждом пролете можно устанавливать не более двух шарниров;
2. Пролеты с двумя шарнирами чередуются с пролетами без шарниров;
3. По одному шарниру может быть установлено в каждом пролёте, кроме одного.
Схема взаимодействия (поэтажная схема) – схема, обеспечивающая наглядность, характер взаимодействия и порядок расчета элементов, составляющих многопролетную шарнирную балку. Схема взаимодействия может состоять из подвесной балки, передаточной и основной.
Подвесной называют балку, шарнирно опирающуюся на концы консолей двух смежных с ней балок.
Передаточной называют такую балку, давление от которой передается частично через опору на основание, а частично на консоль смежной балки, поддерживающей передаточную.
Основной называют балку, которая передает давления от всех действующих на нее нагрузок через опоры на основание (землю).
Равномоментные балки - балки, у которых наибольшие изгибающие моменты в пролетах равны по абсолютному значению моментам на опорах.
Изгибающий момент Мх считается положительным, если в рассматриваемом сечении ось балки изгибается выпуклостью вниз (нижние волокна растянуты) и отрицательным если ось балки изгибается выпуклостью вверх.
Ординаты эпюры М откладываются со стороны растянутых волокон («+» под основной линией)
Поперечная сила в рассматриваемом сечении считается положительной, если её направление совпадает с вращением оставшейся части по ходу часовой стрелке. Положительные ординаты эпюры Q откладываются вверх от основной линии.
Пример. Определить внутренние силовые факторы, возникающие в шарнирной балке, построить эпюры Q и M, определить опасное сечение балки, подобрать размеры поперечного сечения, выполненного из стандартного прокатного профиля – двутавра, выполнить проверочный расчет. Исходные данные для своего варианта взять изтаблицы 5.
Решение
1. Вычертить схему с указанием размеров и нагрузки.
Дано:
F1 = 40 Кн;
F2 = 20 Кн;
F3 = 30 Кн;
g=20 
.
рис.26
1. Построить схему взаимодействия элементов
Построение схемы взаимодействия начинают с замены поставленных шарниров на фиктивные опоры и деления шарнирной балки на основные и второстепенные (передаточные или подвесные) элементы, что позволяет выяснить, как происходит передача силовых воздействий от одной балки к другой.
Данная балка состоит из двух основных балок (III и IV), подвесной балки I и передаточной II.
Римскими цифрами намечен порядок их расчета с учетом взаимодействия.
2. Аналитический расчет шарнирной балки (рис.26) начинают с расчета подвесных балок, так как на них действуют только непосредственно приложенные к ним нагрузки.
2.1. Расчет балки I (рис.27):
рис. 27
2.1.1 Определение опорных реакций.
В данном случае опорные реакции равны между собой:
RC = RD = 
= 
= 40 кН;
2.1.3 Построение эпюры поперечных сил.
Вычисляем для этого поперечные: силы в характерных сечениях:
QС = RС = 40 кН; QD = Qc – q × 4 = 40 - 20´4 = - 4О кН;
2.1.4 Построение эпюры изгибающих моментов.
Для простой балки, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой, эпюра ограничивается квадратной параболой с максимальной ординатой по средине:
Mmax= 
2.2 Расчет балки П (рис.28)
рис. 28
2.2.1 Определение опорных реакций:
∑МH = 0 - RL×6 + F3×4 + F2×2 = 0, откуда:
кН.
∑M L = RH´6 - F2´4 - F3´2 = 0, откуда:
кН.
Проверка: ∑RY = RH - F2 - F3 + RL = 23,3 – 0 – 30 + 26,7 = 50 – 50 = 0, следовательно опорные реакции определены правильно.
2.2.2 Построение эпюр поперечных сил.
Характерные точки (точки приложения сосредоточенных сил) исследуются слева и справа. Поперечную силу необходимо определить в сечении чуть левее точки приложения силы (Qлев) и в сечении чуть правее этой точки (Qпр):
= 
= 23,3 кН; 
= 
= 3,3 кН
= = 23,3 кН; 
= - F3= 3,3 – 30 = -26,7 кН;
= – F2 = 23,3 - 20 = 3,3 Кн; 
= = - 26,7 кН.
2.2.3 Построение эпюр изгибающих моментов.
Изгибающие моменты в характерных сечениях:
МН = 0;
МI = RH´2 = 23,3´2 = 46,6 кНм;
МK = RL´2 = 26,7´2 = 53,4 кНм;
МL = 0;
2.3. Расчёт балки ІІІ (с учётом давления на неё силы от балки І, в точке С равной и противоположно направленной опорной реакции Rс) (рис.29),
рис. 29
2.3.1 Определение опорных реакций:
ΣМА = 0 - RВ´5+RС´7+q´7´3,5 = 0, откуда:
кН.
ΣМВ = 0 - RА´5 – q´7´1,5 + RС´2 = 0, откуда:
кН.
Проверка: ΣFу = RА – q´7 + RВ – RС = 26 - 20´7+154 – 40 = 0;
2.3.2 Построение эпюр поперечных сил.
QA= RА = 26 кН.
= QA – q×5 = 26 – 20×5 = -74 кН;
= + RB = - 74 + 154 = 80 кН;
QС = - q´2 = 80 - 20´2 = RС = 40 кН.
Для определения величины максимального изгибающего момента на этом участке необходимо найти расстояние X0 до сечения, в котором поперечная сила равна нулю.
Приравняем нулю поперечную силу в этом сечении:
QX0 = RА - q´X0 = 0, находим X0 = 
1,3 м.
Х0 = 1,3 м.
2.3.3 Построение эпюр изгибающих моментов.
Изгибающие моменты в характерных точках сечения:
М(А) = 0;
М(В) = RА´5 - q´5´ 
= 26´5 - 20´5´ = 130 – 250 = -120 кНм;
М(С) = 0.
Изгибающий момент в произвольном сечение участка АВ на расстоянии X0 от точки А:
М(Х0) = RА´1,3´ 
= 26´1,3´0,65 = 16,9 кНм;
2.4 Расчёт балки IV с учётом давления на неё силы от балки І, в точке D равной и противоположно направленной опорной реакции RD (рис.29), и давления силы в точке Н от балки ІІ, равной и противоположно направленной опорной реакции RН
рис. 30
2.4.1.Определение опорных реакций:
ΣМЕ = 0 - RD´2 + F1´2,5 – RG´5 + RН´7 = 0 откуда:
кН.
ΣFу = 0 - RD + RE - F1 + RG – Rн = 0, следовательно
RЕ = RD + F1 - RG + RН = 40 + 40 – 36,6 + 23,3 = 66,7 кН.
RЕ = 66,7 кН.
Проверка: ΣМG= - RD´7 + RE´5 - F1´2,5 + RH´2=-40 ´7 + 66,7´5 - 40´2,5 + + 23,3´2 = - 280 + 333,5 – 100 + 46,6 = 0.
2.4.2.Построение эпюры поперечных сил
QD = - RD - 40 кН;
= QD = - 40 кН;
= + RE = - 40 + 66,7 = 26,7 кН;
= = 26,7 кН;
= - F1 = 26,7 - 40 = - 13,3 кН;
= = - 13,3 кН;
= + RС – 13,3 + 36,6 = 23,3 кН;
QH = = 23,3 кН;
2.4.3 Построение эпюры изгибающих моментов.
Изгибающие моменты в характерных сечениях:
МD = 0 кНм;
МE = - RD´2 = - 40´2 = - 80 кНм;
МF = - RD´4,5 +RE´2,5 = - 40´4,5 + 66,7´2,5 = - 13,3 кНм;
МG = - R H´2 = - 23,3´2 = - 46,6 кНм;
МH = 0 кНм.
2.5 Построение общей эпюры поперечных сил для всей шарнирной балки. Эпюры Q, полученные для отдельных балок, располагаем на одной оси, вычертив их в одном масштабе (см. рис. 1).
2.6. Построение общей эпюры изгибающих моментов для всей шарнирной балки. Эта эпюра (рис. 1) строится аналогично общей эпюре Q.
2.7. Определение Ммах = 120 кНм;
3. Определение момента сопротивления поперечного сечения Wx
Wx = 
0,0005714 м3 = 571,4см3.
4. Подбор размеров поперечного сечения двутавра.
Используя таблицы сортамента, находим ближайшее большее или равное значение Wx, по нему определяем номер профиля
Wx = 597см3, № 33.
5. Проверочный расчет.
s = + 
= 201 ≤ 210 МПа
Задание для расчетно-графической работы №10. Для шарнирной балки построить поэтажную схему, эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Подобрать поперечное сечение балки из двутавра. Исходные данные взять из табл. 5 и рисунка 31.
Таблица 5
| № Схемы | № Варианта | F1, кН | F2, кН | F3, кН | q, кН/м |
| a | |||||
| b | |||||
| c | |||||
| d | |||||
| e | |||||
| f | |||||
| Схема | № схемы |
| a |
| b |
| c |
| d |
| e |
| f |
рис.31
