РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА № 3

Тема: «Центр тяжести тела»

Цель работы:

Определение положения центра тяжести сложных плоских фигур, имеющих одну ось симметрии, составленных из простых геометрических фигур и из стандартных прокатных профилей

Студент должен знать:

статические моменты плоской фигуры;
формулы для определения координат центра тяжести плоских фигур.

Студент должен уметь:

определять координаты центра тяжести плоских фигур;
определять координаты центра тяжести стандартных прокатных профилей.

Вопросы для самоконтроля:

Что называется центром тяжести тела?
Записать формулы для определения координат центра параллельных сил.
Записать формулы для определения координат центра тяжести тонкой однородной пластины.
Что называется статическим моментом площади плоской фигуры относительно оси? В каком случае он равен нулю?
Как определить координаты центров тяжести простых геометрических фигур, их площади?
Как определить координаты центров тяжести стандартных прокатных профилей, их площади?
Как определить положение центра тяжести плоской фигуры сложной формы?

Методические указания

1. Разбить сечение на простые фигуры. Такими фигурами являются стандартные профили проката, размеры которых приведены в прил. 1. Обычно профили прокатной стали, образующие сечение, обозначают цифрами 1, 2, 3… или простые геометрические фигуры – прямоугольники, квадраты, треугольники, круги.

2. Указать центры тяжести каждого профиля (фигуры) и обозначают их С₁, С₂,..., С_n, используя при необходимости таблицы ГОСТов (см. прил. 1).

3. Выбрать систему координатных осей. В задачах все сечения имеют одну ось симметрии, поэтому рекомендуется одну из координатных осей совмещать с ней. Вторую ось координат направляют перпендикулярно первой так, чтобы она пересекла центры тяжести одной или нескольких фигур. При этом начало координат может совпадать (или не совпадать) с центром тяжести одной из фигур. Вторую ось можно направить так, чтобы она прошла через нижнюю (крайнюю) точку сечения. В первом случае вычисления будут более простыми.

4. Составить формулы для определения координат центра тяжести сечения:

Пользуясь таблицами ГОСТов (см. прил. 1), определяют площади профилей проката А₁, А₂,..., А_n, координаты их центров тяжести х₁, х₂,..., х_n и y₁, у₂,..., у_n относительно выбранных осей координат. Число слагаемых в числителе и знаменателе формул зависит от числа профилей, из которых состоит сечение. Полученные величины подставляют в формулу и находят х_си у_с. Аналогично ведется расчет площадей простых геометрических фигур, только по формулам.

Следует помнить, что если ось х совмещена с осью симметрии, то координата у_с = О, а если ось у совмещена с осью сим метрии, то х_с = 0.

5. Указать положение центра тяжести на рисунке, придерживаясь определенного масштаба, и показывают расстояние от центра тяжести до координатных осей.

Пример 1, а. Определить координаты центра тяжести сечения, показанного на рис. 9. Сечение состоит из двух уголков 56 4 и швеллера №18. Указать его положение на сечении.

Решение

1. Разбить сечение на профили проката: два уголка 56 4 и швеллер №18. Обозначим их 1, 2, 3 (см. рис. 9).

2. Указать центры тяжести каждого профиля, используяприл. 1, и обозначим их С₁, С₂, С₃.

3. Выбрать систему координатных осей. Ось у совместим с осью симметрии, а ось х проведем через центры тяжести уголков.

4. Определить координаты центра тяжести всего сечения. Так как ось у совпадает с осью симметрии, то она проходит через центр тяжести сечения, поэтому х_с = 0. Координату у_с определим по формуле

Пользуясь таблицами прил. 1, определим площади каждого профиля и координаты центров тяжести:

Координаты у₁и у₂ равны нулю, так как ось х проходит через центры тяжести уголков. Подставим полученные значения в формулу для определения у_с:

рис. 9

5. Указать центр тяжести сечения на рис. 9 и обозначить его буквой С. Показать расстояние у_с от оси х до точки С.

Поскольку уголки симметрично расположены, имеют одинаковую площадь и координаты, то А₁ = А₂, у₁ = у₂. Поэтому формула для определения у_с может быть упрощена:

По найденным координатам х_с и у_с наносим на рисунок точку С. Найденное двумя способами положение центра тяжести находится в одной и той же точке. Проверим это. Разница между координатами Ус, найденными при первом и втором решении, составляет: 6,51 — 2,43 = 4,08 см.

Это равно расстоянию между осями х при первом и втором решении: 5,6 — 1,52 = 4,08 см.

Ответ: у_с = 2,43 см, если ось х проходит через центры тяжести уголков, или у_с = 6,51 см, если ось х проходит по нижнему краю полки уголка.

Пример 1, б. Определить координаты центра тяжести сечения, изображенного на рис. 10. Сечение состоит из двутавра (I) № 24 и швеллера № 24 а. Показать положение центра тяжести на сечении.

рис. 10

Решение

1. Разбить сечение на профили проката: двутавр и швеллер. Обозначим их цифрами 1 и 2.

2. Указать центры тяжести каждого профиля С₁ и С₂, используя таблицы прил. 1..

3. Выбрать систему осей координат. Ось х совместим с осью симметрии, а ось у проведем через центр тяжести двутавра.

4. Определить координаты центра тяжести сечения. Координата у_с = 0, так как ось х совпадает с осью симметрии. Координату х_с определим по формуле

По таблицам прил. 1 и схеме сечения определим

Подставим числовые значения в формулу и получим

5. Нанести точку С (центр тяжести сечения) по найденным значениям х_с и у_с (см. рис. 10).

Ответ: х_с = 6,11 см, если ось у проходит через центр тяжести двутавра; х_с = 11,86 см, если ось у проходит через левые крайние точки двутавра.

Пример 2. Определить центр тяжести сечения, составленного из простых геометрических фигур (рис. 11).

рис. 11

Решение

1. Вычертить схему в масштабе с указанием всех размеров;

2. Разбить данное сечение на простые фигуры, центры тяжести которых известны (С1, С2,...);

3. Провести рационально оси координат, так чтобы одна из осей проходила через ось симметрии, а вторая ось проходила через как можно больше центров тяжести простых фигур;

4. Записать формулы для расчетов:

; ;

;

X_c = 0, т.к. y – ось симметрии;

А₁ = = 8 м²; А₁ = А₂ = 8м²;

А₃ = 10 = 20 м²;

А₄ = = 9 м²;

y₃ = = 3 м; y₁ = y₂ = 0; y₄ = м;

y_c = = 2,333 м.

5. Указать положение центра тяжести на схеме (т. С и координаты Х_с:Y_c);

6. Записать ответ.

Ответ. Точка С (0;2;3).

Задание для расчетно-графической работы № 3 (задача 1). Определить координаты центра тяжести сечения по данным одного из вариантов, показанных на рис.12. Показать положение центра тяжести на сечении.

рис. 12

Задание для расчетно-графической работы № 3 (задача 2). Определить положение центра тяжести составного сечения из простых геометрических фигур

рис.13
РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА № 4

Тема: «Растяжение и сжатие»

Цель работы:

Построение эпюр продольных сил, нормальных напряжений для ступенчатого бруса, защемленного одним концом, при осевом растяжении (сжатии). Определение абсолютного продольного удлинения (укорочения) бруса.

Студент должен знать:

закон Гука;
продольные и поперечные деформации при растяжении (сжатии);
метод сечений.

Студент должен уметь:

строить эпюры продольных сил и нормальных напряжений;
определять усилия в сечениях;
определять нормальные напряжения в сечениях.

Вопросы для самоконтроля:

Что называется абсолютным продольным удлинением бруса?
Что называется относительным продольным удлинением бруса?
Какова размерность относительного удлинения бруса?
Каковы единицы измерения модуля продольной упругости?
Что называется жесткостью стержня при растяжении (сжатии)?
Физический смысл коэффициента Пуассона.
Формула экспериментального выражения закона Гука.
Формула для определения нормального напряжения в сечении.
В чем состоит отличие прямого бруса от ступенчатого?
В чем состоит суть метода сечений?
Что называется характерными точками?
Что называется характерными участками?
Что называется основной линией?

Методические указания

Когда к стержню приложены по концам две равные противоположно направленные силы, действующие по его оси, в стержне возникает деформация растяжения или сжатия.

Для определения внутренней продольной силы и нормального напряжения необходимо воспользоваться методом сечений

рис. 14

1) сечение 1-1 проводится перпендикулярно оси стержня;

2) сечение сквозное;

3) рассматривается равновесие любой отсеченной части: , т.е.

N = .

В случае растяжения продольная сила N считается положительной, при сжатии – отрицательной. Изменение продольной силы по длине стержня удобно представить в виде графика, называемого эпюрой продольных сил.

Напряжение, возникающее внутри бруса, действует перпендикулярно (нормально) сечению, поэтому называется нормальным напряжением

где N – продольная сила,

А – площадь поперечного сечения стержня.

Изменение нормального напряжения по длине бруса представим также в виде эпюры нормальных напряжений.

При деформации растяжение (сжатие) стержень либо удлиняется, либо укорачивается. Удлинение (укорочение) стержня определяется по формуле

где N – продольная сила,

l – длина рассматриваемого участка,

Е – модуль продольной упругости,

А – площадь поперечного сечения.

Пример. Для ступенчатого бруса построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений. Определить абсолютное продольное удлинение или укорочение бруса.

Дано:

F₁ = 28 кН

F₂ = 64 кН

₁ = 2,4 м

₂ = 2,2 м

₃ = 2,0 м

А₁ = 3,2 см²

А₂ = 6,4 см²

Е = 2,1 МПа

рис. 15

1.Обозначить характерные точки (A, B, C, D).

2.Обозначить характерные участки, начиная со свободного конца бруса (I, II, III).

3.Провести сквозные сечения на каждом характерном участке (1-1, 2-2, 3-3).

4.Определить продольную силу в каждом сечении

N₁ = F₁ = 28 кН

N₂ = F₁ = 28 кН

N₃ = F₁ – F₂ = 28 – 64 = - 36 кН.

5.По найденным значениям продольной силы построить соответствующую эпюру (эпюра N). Для этого параллельно оси бруса проведем основную линию. Левее её откладываем значения N, соответствующие сжатому участку, а правее – положительные значения N, соответствующие растянутому участку.

6.Определить напряжения в каждом сечении

= 87,5 Мпа;

;

7.По найденным значениям нормальных напряжений построить соответствующую эпюру (эпюру ).

8.Определить абсолютное удлинение бруса ().

1 + 0,45 – 1,06 = 0,39 мм

Таким образом, абсолютное удлинение бруса

0,39 мм.

Задание для расчетно-графической работы № 4. Для ступенчатого бруса построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений. Определить абсолютное продольное удлинение или укорочение бруса. Данные для своего варианта выбрать из табл. 3 и рис.16.

рис. 16

Таблица 3

Вариант	Схема	F₁, кН	F₂, кН	А, см²	₁, м	₂, м	₃, м
					1,0	1,8	1,6
				1,2	2,0	1,0
			3,5	1,4	1,8	1,2
				4,5	1,6	1,6	2,4
			4,0	1,8	1,4	1,2
			6,5	2,0	1,2	1,4
				7,5	1,8	1,2	2,0
			7,0	1,6	1,4	1,8
			6,0	1,4	1,6	1,6
				5,0	1,2	1,8	1,4
			4,0	1,2	1,6	1,4
			7,5	1,4	1,4	1,2
				6,0	1,6	2,0	1,4
			5,0	1,8	1,4	2,0
				1,6	2,0	1,6
					1,4	1,8	1,6
			3,5	2,0	1,4	1,8
			4,5	1,4	1,8	1,6
			4,0	1,2	2,0	1,4
				6,5	1,4	1,6	1,2
			7,5	1,6	1,4	1,8
				1,4	1,2	2,0
				1,6	1,2	2,2
					1,8	1,6	2,1
				2,0	1,8	1,9
				1,4	1,9	2,1
			4,5	1,2	2,1	1,4
				7,5	2,4	1,4	1,2
				1,2	1,6	1,8
				1,0	2,0	2,1
				1,6	1,8	2,0
				3,5	2,0	1,6	1,4
				1,9	1,4	2,0
				1,7	1,2	1,9