17. Тело брошено с поверхности земли под углом 
к горизонту с начальной скоростью 
. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите дальность полета и наибольшую высоту подъема над поверхностью земли. Докажите, что наибольшая дальность полета достигается при бросании тела под углом 
18. Тело, брошенное под углом 
к горизонту, упало в некоторую точку на поверхности земли. Под каким другим углом к горизонту надо бросить второе тело с той же скоростью, чтобы оно упало в ту же точку, что и первое?
19. Диск, брошенный под углом к горизонту, достиг наибольшей высоты 
. Какова его дальность полета?
20. Тело бросили под некоторым углом к горизонту. Найти этот угол, если дальность полета в четыре раза больше максимальной высоты траектории.
21. Снаряд, выпущенный из орудия под углом 
к горизонту, дважды был на одной и той же высоте спустя 10 с и 50 с после выстрела. Определить начальную скорость камня.
22. Пуля пущена с начальной скоростью 
под углом 
к горизонту. Определить максимальную высоту подъема, дальность полета и радиус кривизны траектории пули в ее наивысшей точке. Сопротивлением воздуха пренебречь.
23. С балкона, расположенного на высоте 15 м бросили мяч под углом 300 к горизонту со скоростью 20 м/с. Написать уравнение зависимости х=х(t) и у =у(t). Найти координату мяча через 2 с; промежуток времени, через которое мяч упадет на землю.
24. С высоты 2 м под углом 45о к горизонту брошен мяч, который падает на землю на расстоянии 43 м по горизонтали от места падения. Определите время полета камня.
25. Тело брошено под некоторым углом к горизонту и наибольшую высоту 20 м достигает, удалившись по горизонтали на 1000 м от точки бросания. Определите скорость тела в данной точке.
26. Тело брошено под углом 45о к горизонту со скоростью 10 м/с. Каков угол между направлением векторов скорости и ускорения через 
с после начала движения?
Семинар 4
Динамика материальной точки и тела, движущихся поступательно
Основные формулы
Уравнение движения материальной точки (второй закон Ньютона):
В векторной форме 
или 
, где 
- геометрическая сумма сил, действующих на материальную точку, 
- масса, 
- ускорение, 
- импульс, 
- число сил, действующих на точку.
Сила упругости 
, где 
- коэффициент упругости (жесткость в случае пружины), 
- абсолютная деформация.
Сила гравитационного взаимодействия 
, где 
- массы взаимодействующих тел, рассматриваемые как материальные точки, 
- расстояние между ними.
Сила трения скольжения 
, где 
- коэффициент трения скольжения, - сила нормального давления
Сила тяжести 
, где 
- ускорение свободного падения
ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ
1. В чем заключается основная задача динамики?
2. В чем физическое содержание первого закона Ньютона? Какой смысл имеет понятие силы в механике Ньютона?
3. Как в динамике определяется понятие «сила»? В каких единицах она измеряется?
4. Как в динамике определяется понятие массы? Перечислите основные свойства массы. Назовите единицу измерения.
5. Что называется импульсом материальной точки? Назовите единицы измерения импульса.
6. Какие системы отсчета называются инерциальными?
7. Назовите четыре типа фундаментальных взаимодействий. Какие силы рассматриваются в рамках ньютоновской механики?
8. Может ли коэффициент трения превышать 1?
ЗАДАЧИ
1. На тело одновременно действуют две силы одинаковой величины, угол между которыми составляет 
. Чему равен модуль равнодействующей сил?
2. 
Чему равна равнодействующая двух сил, приложенных к телу в точке А?
3. Чему равна равнодействующая двух сил, приложенных к телу в точке А?
4. 
На тело А действуют три силы: F1 = 5Н, F2 = 4Н и F3 = 8Н. Вычислите равнодействующую этих сил и определите характер движения тела под действием этих сил.
5. Три одинаковые по модулю силы приложены к одной точке, лежат в одной плоскости и направлены под одинаковыми углами 
попарно друг к другу. Найдите их равнодействующую.
6. С какой силой на дно шахтной клети будет давить груз массой 100 кг, если клеть будет подниматься вертикально вверх с ускорением 
.
7. На гладком столе лежит брусок массой 4 кг. К бруску привязан шнур, ко второму концу которого приложена сила F=10 Н, направленная горизонтально поверхности стола. Найти ускорение бруска.
8. Молот массой 1000 кг падает с высоты 2 м на наковальню. Длительность удара 
. Определить среднее значение силы удара.
9. Шайба, пущенная по поверхности льда с начальной скоростью 
, остановилась через 40 с. Найти коэффициент трения шайбы о лед.
10. Под действием некоторой силы тело массой 3 кг совершает прямолинейное движение, описываемое уравнением 
. Чему равна действующая на тело сила в момент времени 
? Построить график зависимости силы от времени.
11. Определить коэффициент трения между наклонной плоскостью и движущимся по ней телом, если известно, что это тело, имея начальную скорость 
и двигаясь вверх по наклонной плоскости, проходит путь 2 м. Угол наклона плоскости к горизонту 
.
12. Чему равен коэффициент трения колес автомобиля о дорогу, если при скорости автомобиля 
тормозной путь равен 8 м?
13. 
Тело массой 
движется прямолинейно по закону 
(
). Определить силу, действующую на тело в конце первой секунды движения.
14. На тело массой 
, лежащее на наклонной плоскости (угол 
), действует горизонтально направленная сила 
. Пренебрегая трением. Определите: 1) ускорение тела; 2) силу, с которой тело давит на плоскость.
15. 
Простейшая машина Атвуда, применяемая для изучения законов равноускоренного движения, представляет собой два груза с неравными массами (например. 
), которые подвешены на легкой нити, перекинутой через неподвижный блок. Считая нить и блок невесомыми, и пренебрегая трением в оси блока, определите: 1) ускорение грузов; 2) силу натяжения нити; 3) силу, действующую на ось блока.
16. В установке, изображенной на рисунке, угол наклонной плоскости к горизонту равен 
, массы тел 
. Считая нить и блок невесомыми и пренебрегая силами трения, определите ускорение, с которым будут двигаться тела, если тело 
опускается.
17. 
Система грузов массами 
и 
находится в лифте, движущемся вверх с ускорением 
. Определите силу натяжения нити, если коэффициент трения между грузом массы 
и опорой равен 
.
18. Тело массой движется в плоскости ху по закону 
, где 
- некоторые постоянные. Определите модуль силы, действующей на это тело.
19. Тело массой движется под действием силы 
, где 
и 
- некоторые постоянные. Определите положение частицы, то есть выразите ее радиус-вектор как функцию времени, если в начальный момент времени 
.
20. 
Два груза (
) связаны невесомой нитью и лежат на гладкой горизонтальной поверхности. К грузу приложена горизонтально направленная сила 
. Пренебрегая трением. Определить ускорение грузов и силу натяжения нитей.
21. 
С вершины клина, длина которого 2 м и высота 1 м, начинает скользить небольшое тело. Коэффициент трения между телом и клином 
Определите ускорение, с которым движется тело, и время прохождения тела вдоль клина.
22. Тело А массой 
находится на горизонтальном столе и соединено нитями посредством блоков с телами В (
). Считая нити и блоки невесомыми и пренебрегая силами трения, определить ускорения, с которыми будут двигаться эти тела.
Семинар 5
Силы в механике
Основные формулы
Сила упругости , где - коэффициент упругости (жесткость в случае пружины), - абсолютная деформация.
Сила гравитационного взаимодействия , где
- массы взаимодействующих тел, рассматриваемые как материальные точки, - расстояние между ними.
Сила трения скольжения , где - коэффициент трения скольжения, - сила нормального давления
Сила тяжести , где - ускорение свободного падения
ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Сформулируйте и напишите математическое выражение закона Всемирного тяготения.
2. Какой физический смысл имеет гравитационная постоянная?
3. Как зависит ускорение свободного падения тел относительно поверхности Земли от географической широты и высоты над уровнем поверхности?
4. Покажете на чертеже точку приложения силы нормального давления. Как она направлена?
ЗАДАЧИ
1. Во сколько раз и как изменится сила гравитационного притяжения двух однородных шаров, если их заменить шарами из того же материала, увеличив в три раза радиус каждого? В обоих случаях шары соприкасаются друг с другом.
2. Чему равно ускорение свободного падения на поверхности планеты, масса которой в 3 раза больше массы Земли, а радиус в 2 раза больше радиуса Земли?
3. На каком расстоянии от поверхности Земли ускорение свободного падения уменьшится в 4 раза?
4. При подъёме ракеты на высоту, равную радиусу Земли, отношение сил тяготения, действующих на ракету на поверхности Земли и на этой высоте, равно
5. Вычислить ускорение свободного падения на расстоянии от центра Земли, вдвое превышающем ее радиус, если на поверхности оно равно 
.
6. Ускорение силы тяжести на поверхности некоторой планеты, средняя плотность которой равна средней плотности Земли, но радиус в n раз больше земного, равно…..
7. Центры масс двух одинаковых однородных шаров находятся на расстоянии 1 м друг от друга. Масса каждого шара равна 1 кг. Определить силу гравитационного взаимодействия шаров.
8. На какой высоте над поверхностью Земли напряженность гравитационного поля равна 1 Н/кг? Радиус Земли равен 6380 км.
9. На какую часть уменьшается вес тела на экваторе вследствие вращения Земли вокруг своей оси?
10. какой продолжительности должны были бы быть сутки на Земле, чтобы тела на экваторе не имели веса?
11. Принимая ускорение силы тяжести у поверхности Земли равным 
, составить таблицу средних плотностей планет солнечной системы.
12. Космическая ракета летит на Луну. В какой точке прямой, соединяющей центры Земли и Луны, ракета будет притягиваться Землей и Луной с одинаковой силой?
13. С какой линейной скоростью будет двигаться искусственный спутник Земли по круговой орбите: 1) у поверхности Земли: 2) на высоте 7000 км над поверхностью Земли? Найти период обращения вокруг Земли искусственного спутника при этих условиях.
14. Две пружины жесткостью 
и 
соединены последовательно. Определить абсолютную деформацию первой пружины, если вторая деформирована на 
.
15. Определить жесткость системы двух пружин при последовательном и параллельном их соединении. Жесткость пружин 
и 
16. Самолет делает «мертвую петлю» радиусом 500 м с постоянной скоростью 
. Найти вес летчика, масса которого 70 кг, в верхней, нижней и средней точках траектории.
17. Камень, привязанный к веревке, равномерно вращается в вертикальной плоскости. Разность между максимальным и минимальным натяжением веревки 
. Найти массу камня.
18. Груз массой 200 г, привязанный к нити длиной 1 м, вращают в горизонтальной плоскости с постоянной скоростью так, что нить описывает коническую поверхность. При этом угол отклонения нити от вертикали равен . Найти угловую скорость вращения груза.
19.. Начальная скорость пули 
800 м/с. При движении в воздухе за время t = 0,8 с ее скорость уменьшилась до 
=200 м/с. Масса пули m=10 г. Считая силу сопротивления воздуха пропорциональной квадрату скорости, определить коэффициент сопротивления k. Действием силы тяжести пренебречь.
20. Радиус Земли в n=3,66 раза больше радиуса Луны; средняя плотность Земли в k=1,66 раза больше средней плотности Луны. Определить ускорение свободного падения gл на поверхности Луны, если на поверхности Земли ускорение свободного падения g.
Семинар 6
Закон сохранения импульса
Основные формулы
Закон сохранения импульса 
, где - число материальны точек или тел, входящих в систему
Кинетическая энергия материальной точки (или тела), движущейся поступательно 
или 
ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Дайте определение импульса материальной точки и назовите единицу измерения.
2. Сформулируйте закон сохранения импульса для системы материальных точек.
3. Что такое «замкнутая система»?
4. Что такое кинетическая энергия? Запишите формулы для расчета кинетической энергии.
ЗАДАЧИ
1. Два неупругих шара массами 2 кг и 3 кг движутся навстречу друг другу со скоростями 8 м/с и 4 м/с, соответственно. Определить увеличение внутренней энергии шаров при столкновении, если: а) меньший шар догоняет больший; б) шары движутся навстречу.
2. Шар массой 200 г, движущийся со скоростью 10 м/с, ударяет неподвижный шар массой 800 г. Удар прямой, абсолютно упругий. Каковы будут скорости шаров после удара?
3. Молот массой 
падает на поковку, масса которой вместе с наковальней 
. Скорость молота в момент удара равна 
. Найти: 1) кинетическую энергию молота в момент удара; 2) энергию, переданную фундаменту; 3) энергию, затраченную на деформацию поковки; 4) коэффициент полезного действия удара молота о поковку. Удар молота о поковку считать неупругим.
4. При выстреле из орудия снаряд массой 
получает кинетическую энергию 
. Определить кинетическую энергию ствола орудия вследствие отдачи, если масса ствола орудия равна 
.
5. Молекула распадается на два атома. Масса одного из атомов в три раза больше, чем другого. Пренебрегая начальной кинетической энергией и импульсом молекулы, определить кинетическую энергию образующихся атомов, если их суммарная энергия равна 0,032 нДж.
6. Пластилиновый шарик массы m, движущийся со скоростью V, налетает на покоящийся пластилиновый шарик массы 2m. После удара шарики, слипшись, движутся вместе.
7. При выстреле из автомата вылетает пуля массой m со скоростью V. Какую по модулю скорость приобретает автомат, если его масса в 500 раз больше массы пули?.
8. После пережигания нити первая тележка, масса которой равна 0,6 кг, стала двигаться со скоростью 0,4 м/с. С какой по модулю скоростью начала двигаться вторая тележка, масса которой равна 0,8 кг?
9. Пластилиновый шарик массы m, движущийся со скоростью V, налетает на покоящийся пластилиновый шарик массы 2m. После удара шарики, слипшись, движутся вместе. Какова скорость их движения?
10. Движение материальной точки описывается уравнением 
. Приняв ее массу равной 2 кг, найти импульс через 2 с и через 4 с после начала отсчета времени.
11. Материальная точка массой 1 кг равномерно движется по окружности со скоростью . Найти изменение импульса за одну четверть периода; половину периода; период.
12. Ледокол массой 5000 т, идущий с выключенным двигателем со скоростью 10 м/с, наталкивается на неподвижную льдину и движет ее впереди себя. Скорость ледокола уменьшилась при этом до 2 м/с. Определить массу льдины. Сопротивлением воды пренебречь.
13. Граната, летящая со скоростью 
, разорвалась на два осколка массами 
и 
. Скорость большего осколка 
и он движется по направлению движения гранаты. Найти скорость и направление движения меньшего осколка.
14. Два тела, летящие навстречу друг другу со скоростями 5 м/с каждое, после абсолютно неупругого удара стали двигаться как единое целое со скоростью 2,5 м/с. Чему равно отношение масс этих тел?
15. В ящик с песком массой 20 кг, подвешенный на тонкой невесомой нерастяжимой веревке, попадает пуля массой 100 г, летевшая горизонтально со скоростью 400 м/с, и застревает в ящике. На какую высоту поднимется ящик после попадания в него пули?
16. Два шара подвешены на параллельных нитях одинаковой длины так, что они соприкасаются. Масса первого шара 0,2 кг, масса второго 100 г. Первый шар отклоняют так, что его центр тяжести поднимается на высоту 4,5 см, и отпускают. На какую высоту поднимутся шары после соударения, если: 1) удар упругий, 2) удар неупругий?
17. В лодке массой 
стоит человек массой 
. Лодка плывет со скоростью . Человек прыгает в горизонтальном направлении со скоростью 
(относительно лодки. Найти скорость лодки после прыжка человека в двух случаях: 1) человек прыгает вперед по движению лодки и «0 в сторону, противоположную движению лодки.
18. В баллистический маятник массой 
попала пуля массой, если маятник, отклонившись после и застряла в нем. Найти скорость пули, если маятник, отклонившись после удара, поднялся на высоту 10 см.
19. Частица массой испытала абсолютно упругое столкновение с частицей массы . Найти отношение их масс, если частицы разлетаются симметрично по отношению к первоначальному направлению движения частицы 1 и угол разлета между направлениями их разлета 
.
Семинар 7
