Выравнивание по уравнению прямой линии

Аналитическое выравнивание имеет своей конечной целью получение конкретного уравнения связи между двумя сопряженными признаками. В первую очередь исходные данные наносят на систему координат и по характеру расположения точек определяют функцию для выравнивания. Её график должен проходить максимально близко по отношению ко всем исходным точкам. В данном примере характер расположения точек линейный следовательно выравнивание осуществляем по уравнению прямой.

Как известно, уравнение линейной зависимости общего вида будет иметь вид: y = а x+b.

Вычисление конкретного уравнения сводится к определению числовых значений коэффициентов а, b, для получения которых существует несколько способов. Рассмотрим два, наиболее широко применяемых способа, характеризующихся различной точностью и трудоемкостью:

а) способ координат двух избранных точек, обеспечивающий получение менее точных результатов, но гораздо более простым путем;

б) способ наименьших квадратов, позволяющий получить достаточно точные результаты путем использования координат всех выравниваемых точек (наблюдений).

Остановимся на технике работ при вычислении конкретного уравнения методом координат избранных точек. В этом случае исходные данные изображаются на графике, и производится предварительное выравнивание. Результирующая линия проводится между точками с таким расчетом, чтобы разделить их общее количество на две приблизительно равные части. При этом необходимо стремиться к такому положению, чтобы расстояние между линией и исходными точками было кратчайшим. Для облегчения техники выравнивания и увеличения его точности можно рекомендовать следующий прием. Соединить все выравниваемые точки и постараться провести плановую выравнивающую линию по возможности ближе к этим серединам. При этом желательно провести прямую таким образом, чтобы хотя бы две исходные точки попали на неё. С полученной прямой линии снимаем координаты двух любых точек исходных данных (лежащих на проведенной прямой). Если число наблюдений в классах известно, то следует отдать предпочтение точкам, обеспеченным наибольшим числом наблюдений. В нашем примере в качестве избранных использованы координаты точек классов № 2 и № 6.

 

X₂=16; Y₂=18,00; X₆=32; Y₆=23,65.

Система двух конкретных уравнений приобретет вид

После подстановки координат избранных точек:

После решения системы относительно а и b, получим

а=0,35 b=12,4

Следовательно, полученное конкретное уравнение связи Y/Х (Д/Н) будет иметь вид

у=0,35x+12,4

 

Для краткости изложения в последующем тексте полученным уравнениям присвоены определенные номера: уравнение, вычисленное методом координат точек, получает номер I, а уравнение, полученное методом наименьших квадратов – номер II.

Пределы «работы» полученного уравнения по диаметру от 10 см до 46 см.

Рассмотрим технику вычислений при использовании способа наименьших квадратов. Для получения конкретного уравнения в этом случае используются координаты всех точек. Это учитывается при выведении системы уравнений для этого метода. Так, если записать уравнения прямой для каждой точки, а потом просуммировать левые и правые части всех уравнений, то получим следующее:

y₁= ax₁ + b

y₂= ax₂ + b

y₃= ax₃ + b

……………

……………

∑y=a∑x+bn.

 

Так как нам необходимо найти два неизвестных значения (a и b), то в системе должно быть два уравнения. Для получения второго уравнения системы умножим обе части каждого уравнения на соответствующий «х» и просуммируем левые и правые части уравнений. Получим:

x₁y₁= ax₁² + bх₁

x₂y₂= ax₂² + bx₂

x₃y₃= ax₃² + bx₃

….……………

….……………

∑хy=a∑x²+b∑х.

 

Таким образом, мы вывели оба уравнения системы:

 

Для удобства вычислений числовых значений указанной системы составляется вспомогательная таблица (табл.4.2).

Таблица 4.2

Вспомогательные расчеты для вычисления конкретного уравнения

прямой линии

Исходные данные	ХY	Х2
Х	Y
	16,00	192,00
	18,00	288,00
	20,15	403,00
	22,14	531,36
	23,48	657,64
	23,65	756,80
	24,62	886,32
	26,00	1040,00
	27,00	1188,00
252	201,04	5943,12	8016

 

Подставим итоговые данные в систему уравнений и вычислим коэффициенты а, b, имея в виду, что значение «n» соответствует числу классов по X:

Следовательно, конкретное уравнение будет иметь вид

Y=0,33Х+13,1

С целью последующего анализа результатов применения полученных уравнений вычисляются вероятные (теоретические) значения зависимого признака по первому уравнению (y_в1) и второму уравнению (y_в2). Последние (y_в2) сравниваются с исходными (опытными) данными (у). Указанные сравнения (a = y–y_в2) производятся по всем классам X, а их результат для прямой линии показан в табл. 4.3.

Таблица 4.3

Сравнение исходных и вероятных высот деревьев, полученных по уравнению прямой линии

Исходные данные	Вероятные высоты	Отклонения, м
диаметр, см	высота, м	Ув1	Ув2	a = y–yв2
X	Y
	16,00	16,60	17,06	-1,06
	18,00	18,00	18,38	-0,38
	20,15	19,40	19,70	+0,45
	22,14	20,80	21,02	+1,12
	23,48	22,20	22,34	+1,14
	23,65	23,60	23,66	-0,01
	24,62	25,00	24,98	-0,36
	26,00	26,40	26,40	-0,40
	27,00	27,80	27,62	-0,62
				∑-0,12

 

Приведенные данные позволяют, прежде всего, проверить правильность вычислений, выполненных при получении конкретных уравнений, на предмет обнаружения грубых арифметических ошибок.

Правильность вычисления уравнений связи проверяется путем сравнения исходных значений Y с вероятными (у_в), полученными по уравнению I (у_в1) и уравнению II (у_в2) Критерием правильности вычислений уравнения I будет совпадение вероятных значений у_в1 с исходными значениями Y для тех классов, в которых использованы координаты точек в качестве исходных для получения конкретного уравнения I. В нашем примере для уравнения прямой линии значение у_в1 равно 18,0, соответствует исходным данным Y во втором классе, то есть также 18,0. Аналогичное положение и в следующем, шестом классе: у_в1 =23,6 практически не отличается от Y =23,65. Совпадение Y и в остальных классах не обязательно и может наступить только случайно.

Некоторый контроль правильности уравнения II можно получить путем сопоставления Y и у_в2 – во всех классах. В этом случае должно наблюдаться такое сочетание знаков (плюс и минус), которое отражает «срединное» положение выравнивающей прямой между выравниваемыми исходными значениями Y.

О явной неправильности полученного уравнения будет свидетельствовать наличие во всех классах только +, равно как и знаков -, а также, если в нескольких начальных классах будут наблюдаться отклонения с одним и тем же знаком (+ или -), а во всех последующих классах с противоположным, а именно:

+++++++

- - - - - - -

++++- - -

- - - -+++

Заметим, что описанные критерии правильности и вычислений I и II уравнений распространяются и на выравнивание по всем другим линиям связи.