Решение в программе MathCAD

 

Параметры a, b уравнения линейной регрессии y=a+bx можно найти, решая методом Гаусса систему уравнений . Решать систему матричным методом не рекомендуется, так как часто в задачах об аппроксимации эмпирических данных матрица A^TA получается плохо обусловленной, и при вычислении обратной к ней матрицы возникают большие погрешности округления.

Для получения уравнения линейной регрессии применяют функции slope(vx,vy) и intercept(vx,vy), где a=intercept(vx,vy), b=slope(vx,vy), vx, vy - векторы значений независимого аргумента x и зависимой переменной y. Пример применения этих функций приведен ниже.

 

 

Красная линия отражает заданную зависимость, синяя – линия линейной регрессии. С помощью полученного уравнения можно находить значения y в промежуточных точках заданного интервала значений (u(1,5))и во внешних точках этого интервала (u(5)).

 

6. Получить уравнение множественной линейной регрессии. Построить графики.

Решение в программе Excel

Изучается влияние стоимости основных и оборотных средств на величину валового дохода торговых предприятий. Для этого по 12 торговым предприятиям были получены данные:

 

Номер предприятия	Валовой доход за год, млн. руб.	Среднегодовая стоимость, млн. руб
основных фондов	оборотных средств

 

 

Чтобы составить систему линейных уравнений для нахождения коэффициентов уравнения y=a+b₁x₁+b₂x₂, заполним таблицу:

 

№	y	x1	x2	x1^2	x1*x2	x2^2	x1*y	x2*y
Σ

 

Решим систему линейных уравнений:

a=-24,023; b₁=0.3829; b₂=1.6774

 

Т.о. получили уравнение

y=0.3829x₁+1.6774x₂ – 24,023,

 

определяющее теоретическое значение y (теор).

x1	x2	y	y( теор)	│ y-y (теор)│
			197,29	5,7138
			80,633	17,6326
			73,066	28,0659
			100,8	12,2018
			44,387	76,6134
			98,903	10,9028
			110,97	0,973
			93,907	37,9074
x1	x2	y	y(теор)	Ιy-y(теор)Ι
			80,014	0,014
			212,75	24,252
			167,62	7,6217
			90,662	15,6616

 

Очевидно, что полученное уравнение достаточно хорошо аппроксимирует исходные данные.

Уравнение линейной множественной регрессии можно также получить с помощью встроенной статистической функции ЛИНЕЙН, которая определяет параметры линейной регрессии y=a+b₁x₁+…+b_mx_m, причем в этом случае будет выводиться дополнительная регрессионная статистика. Порядок вычисления аналогичен случаю парной регрессии:

1. введите исходные данные;

2. выделите область пустых ячеек 5 (m-1) (5 строк, m-1 столбца) для вывода результатов регрессионной статистики или область 1 (m-1) – для получения только оценок коэффициентов регрессии;

3. активизируйте Мастер функций и в категории Статистические выберите функцию ЛИНЕЙН;

4. заполните аргументы функции

известные значения у – диапазон, содержащий данные результативного признака;

известные значения х – диапазон, содержащий данные независимого признака;

5. константа – логическое значение, которое указывает на наличие или отсутствие свободного члена в уравнении; если константа=1, то свободный член рассчитывается обычным образом, если константа=0, то свободный член равен 0;

статистика – логическое значение, которое указывает, выводить дополнительную информацию по регрессионному анализу или нет. Если статистика=1, то дополнительная информация выводится, если статистика=0, то выводятся только параметры уравнения;

6. в левой верхней ячейке выделенной области появится первый элемент итоговой таблицы. Чтобы раскрыть всю таблицу, нажмите на клавишу <F2>, а затем на комбинацию клавиш <CTRL>+<SHIFT>+<ENTER>.

 

Дополнительная регрессионная статистика будет выводиться в порядке, указанном в следующей схеме:

Значение коэффициента bm	Значение коэффициента bm-1	…	Значение коэффициента a
Среднеквадратическое отклонение bm	Среднеквадратическое отклонение bm-1	…	Среднеквадратическое отклонение a
Коэффициент детерминации R2	Среднеквадратическое отклонение y
F -статистика	Число степеней свободы
Регрессионная сумма квадратов	Остаточная сумма квадратов

 

Применяя функцию ЛИНЕЙН(В2:В13, С2:D13, 1, 1), получим

 

#	y	x1	x2
					1,677398105	0,382903574	-24,02304365
					0,421525183	0,253317751	28,05754959
					0,75569291	32,65658398	#Н/Д
					13,91944086		#Н/Д
					29688,84437	9598,072295	#Н/Д

 

Таким образом y=-24.023+0.382904x₁+1.677398x₂, что совпадает с результатом, полученным ранее. Как показывает статистика, R²=0.755693, т.е. связь достаточно тесная. С помощью рассмотренной функции можно получить и уравнения нелинейной множественной регрессии, если эти уравнения линейны относительно своих параметров a, b₁, …, b_m. Например, чтобы получить уравнение y=a+b₁x₁+b₂x₂+b₃x₁²+b₄x₁x₂+b₅x₂², достаточно получить параметры линейной регрессии y=a+b₁x₁+b₂x₂+b₃z₃+b₄z₄+b₅z₅, где z₃=x₁², z₄=x₁x₂, z₅=x₂².