«Теория вероятностей и математическая статистика»
Занятие 1. Основные понятия теории вероятностей. Основные теоремы теории вероятностей. Повторение испытаний.
Задание 1.1. Брошены 2 игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков – чётное число, причём на грани хотя бы одной из костей появилась шестёрка.
Задание 1.2. При перевозке ящика, в котором содержались 21 стандартная и 10 нестандартных деталей, утеряна одна деталь, причём неизвестно какая. Извлечённая наугад после этого деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что была утеряна: а) стандартная деталь; б) нестандартная деталь.
Задание 1.3. Задумано двузначное число. Найти вероятность того, что задуманным окажется: а) случайно названное двузначное число; б) случайно названное двузначное число, цифры которого различны.
Задание 1.4. Куб, все грани которого окрашены, распилен на тысячу одинаковых кубиков. Найти вероятность того, что наудачу выбранный кубик будет иметь: а) три окрашенные грани; б) две окрашенные грани; в) одну окрашенную грань; г) хотя бы одну окрашенную грань.
Задание 1.5. В коробке шесть одинаковых пронумерованных кубиков. Наугад по одному извлекают все кубики. Найти вероятность того, что кубики будут извлечены в порядке возрастания номеров.
Задание 1.6. На плоскости даны 9 точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Сколько различных прямых можно провести через них?
Задание 1.7. В пространстве даны 8 точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Сколькими способами можно провести через эти точки плоскость?
Задание 1.8. В пространстве даны 9 точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Сколько различных ненулевых векторов можно построить, используя эти точки в качестве их начала и конца?
Задание 1.9. Сколько различных четырёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4?
Задание 1.10 Сколько различных четырёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 2, 2?
Задание 1.11. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4?
Задание 1.12. Сколько различных четырёхбуквенных слов можно составить из букв а, б, в, г, д, е, ж, з?
Задание 1.13. Сколькими различными способами можно разместить восьмерых пассажиров в двух четырёхместных автомобилях?
Задание 1.14. В отделе работают 11 сотрудников. Требуется выбрать двоих из них для выполнения некоторой работы. Сколькими способами можно это сделать?
Задание 1.15.. В отделе работают 11 сотрудников – 7 мужчин и 4 женщины. Требуется выбрать двоих из них для выполнения некоторой работы, причём пара должна быть разнополой. Сколькими способами можно это сделать?
Задание 1.16. Нефтеналивной порт имеет пять причалов. Событие А – занято четное число причалов, событие В – занят хотя бы один причал. Описать события (А+В) и (АВ).
Задание 1.17. Связь между вычислительным центром и управлением магистральных трубопроводов осуществляется по трем каналам. По каждому каналу может быть передан сигнал о нормальной работе или об отказе. При передаче сигнал может быть искажен, поэтому информация считается верной только в том случае, если хотя бы два канала передали одинаковый сигнал. Выразить события: а) принят сигнал о нормальной работе объекта; б) принят сигнал об отказе.
Задание 1.18. Два танкера, загруженной нефтью должны подойти на разгрузку к одному и тому же причалу 1 сентября. первому из них на разгрузку нужен один час, а второму – 2 часа. Подход танкеров к причалу равновозможен в течение этих суток. Какова вероятность, что ни одному из танкеров не придется ждать освобождения причала?
Задание на дом.
1. Найти вероятность того, что при бросании трёх игральных костей шестёрка выпадет на одной (безразлично, какой именно) кости, если на гранях двух других костей выпадет различное количество очков (не равное шести).
2. В ящике 10 одинаковых деталей, пронумерованных числами от 1 до 10. Наудачу извлечены 6 деталей. Найти вероятность того, что среди извлечённых окажется: а) деталь № 1; б) детали № 1 и № 2.
3. Ребёнок забыл телефонный номер, состоящий из пяти цифр, за исключением последней цифры. Сколько вариантов набора номера может потребоваться ему испробовать, если он знает, что: а) все цифры номера различны, б) среди цифр номера могут встретиться одинаковые.
4. В цветочном киоске есть 4 вида цветов. Покупатель хочет, чтобы ему составили букет из семи цветов. Сколькими различными способами можно это сделать?
Занятие 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей и основные следствия из них. Условная вероятность. Вероятность наступления хотя бы одного события из полной группы событий.
Задание 2.1. Вероятности появления каждого из двух независимых событий А и В соответственно равны 0,6 и 0,5. Найти вероятность появления только одного из них.
Задание 2.2. В ящике среди 100 деталей находится 1 бракованная. Из ящика наудачу извлечены 10 деталей. Найти вероятность того, что среди них окажется бракованная.
Задание 2.3. На завод привезли партию из 150 подшипников, в которую случайно попало 20 бракованных. Определить вероятность того, что из двух взятых наугад подшипников окажется: а) оба годные, б) оба бракованные, в) хотя бы один годный.
Задание 2.4. Узел содержит 2 независимо работающих детали. Вероятности отказа детали соответственно равны 0,05 и 0,08. Найти вероятность отказа узла, если для этого достаточно, чтобы отказала хотя бы одна деталь.
Задание 2.5. Из колоды 36 карт вынимают сразу 3 карты. Найти вероятность того, что эти карты будут дамой, семеркой, тузом.
Задание 2.6. Колода в 16 карт (8 красных и 8 черных) делится пополам. Найти вероятность того, что число красных и черных карт в обеих пачках будет одинаковым.
Задание 2.7. Из колоды в 36 карт наугад вынимают 3 карты. Какова вероятность того. что среди них окажутся 2 туза?
Задание 2.8. 12 рабочих получили путевки в 4 дома отдыха: 3 - в первый, 3 - во второй, 2 - в третий и 4 - в четвертый. Найти вероятность того, что данные трое рабочих поедут в один дом отдыха.
Задание 2.9. В магазине имеются в продаже однотипные изделия, изготовленные двумя заводами. Заводом № 1 изготовлены 60 % изделий, а остальные изготовлены заводом № 2. Завод № 1 в среднем выпускает 2 % брака, а завод № 2 – 5 % брака. Какова вероятность того, что купленное в магазине изделие окажется бракованным?
Задание 2.10. При проведении эксперимента возникло три равно возможных продолжения выполняемых действий. Предположительно, требуемый результат при выборе первого варианта проведения эксперимента будет достигнут с вероятностью 60 %, второго варианта – 50 % и третьего варианта – 75 %. Какова вероятность того, что необходимый результат был в итоге получен?
Задание 2.11. В больнице лежат больные гриппом (20 %), ангиной (45 %), скарлатиной (25 %) и дифтеритом (10 %). Процент полного излечения больного равен соответственно: для гриппа – 80 %, для ангины – 95 %, для скарлатины – 65 % и для дифтерита – 75 %. Какова вероятность того, что данный больной полностью вылечится?
Задание 2.13. В условиях задания 5.1, найти вероятность того, что изделие было выпущено заводом № 1, если известно, что купленное изделие – бракованное.
Задание 2.14. В условиях задания 5.3, найти вероятность того, что данный больной болел ангиной, если известно, что он полностью выздоровел.
1. Глубинный манометр испытывается на герметизацию. Проводится не более 5 испытаний, при каждом из которых манометр выходит из строя с вероятностью 0,05. После первой поломки манометр ремонтируется, а после второй признается испорченным. Какова вероятность, что после пяти испытаний манометр будет признан негодным?
Задание 2.15. В нефтеносном районе бурят одновременно 6 скважин. Каждая из скважин вскрывает месторождения независимо от других с вероятностью 0,1. Какова вероятность вскрытия месторождения? Изменения ли эта вероятность, если работает одна буровая установка, которая прекращает бурение при вскрытии месторождения? Сколько нужно пробурить скважин, чтобы вероятность вскрытия месторождения превысила 0,7?
. Задание 2.16 В первой урне лежат 5 белых и 10 черных шаров, во второй – 2 белых и 7 черных. Из первой урны наудачу переложили один шар во вторую урну, после чего из второй урны наудачу достают один шар. 1) Найти вероятность того, что этот шар белый? 2)Шар, взятый из второй урну, оказался белый. Какова вероятность, что из первой урны во втору. Был переложен белый шар?
Задание 2.17. Фермер поручил двум охотникам застрелить волка, пообещав им в случае успеха 3500 рублей. Первый, более опытный, охотник попадает в зверя с вероятностью 0,9, а второй – с вероятностью 0,6. Охотники встретили волки и одновременно выстрелили. Волк был поражен одной пулей. Как охотники должны поделить премию?
Задание 2.18. Приборы зафиксировали утечку газа на участке газопровода, 40% которого расположен под землей и 60 % – под водой. Вероятность в течение суток обнаружить утечку на подземном участке равно 0,7, а на подводном – 0,8. Какова вероятность того, что утечка газа буден обнаружена не позже, чем через сутки?
Задание 2.19. Два завода поставляют трубы для скважин. Завод А поставляет 30% общего количества труб, из которых 95% стандартных. Завод В поставляет 70% труб, а стандартных среди них 90 %.Взятый на удачу труба оказалась не стандартной. Какова вероятность, что она изготовлена на заводе А?
Задание 2.20 Участок нефтепровода состоит из линейной части и резервуарного парка. Каждая из составляющих необходима для работы всего участка. Вероятность безотказной работы в течение времени Т линейной части равна 0,9, а резервуарного парка -0,8. Какова вероятность, что авария произошла только в линейной части, если отказы в двух составляющих участка:а)несовместны; б)независимы?
Задание 2.21. Вероятность повышения давления в трубопроводе до критического значения равна 0,15. Вероятность срабатывания контрольно- измерительного прибора при достижении критического давления равна 0,9. Вследствие помех при нормальном давлении в системе прибор может сработать с вероятностью 0,1. Диспетчер зарегистрировал повышение давления до критического значения. Какова вероятность, что давление действительно было повышено?
Задание на дом.
1. Два орудия одновременно стреляют в одну цель. Вероятности поражения цели каждым орудием равны соответственно 0,4 и 0,7. Найти вероятность того, что при залпе цель будет поражена хотя бы одним из орудий.
2. В ящике среди 18 деталей находится 2 бракованных. Из ящика наудачу извлечены 10 деталей. Найти вероятность того, что среди них окажется ровно одна бракованная.
3. Прибор содержит 3 независимо работающих устройства. Вероятности отказа каждого из устройств соответственно равны 0,01, 0,05 и 0,08. Найти вероятность отказа узла, если для этого достаточно, чтобы отказала хотя бы одна деталь.
4. Из набора костей домино наугад вынимается одна. Найти вероятность того, что следующую извлечённую кость можно будет приставить к первой.
5. В пирамиде расставлены 10 винтовок, из которых 3 снабжены диоптрическим прицелом. Вероятность поражения цели из обычной винтовки равна 0,45, а из винтовки с диоптрическим прицелом – 0,65. Какова вероятность поражения цели из наугад выбранной винтовки?
6. В условиях примера 1, найти вероятность того, что выстрел был сделан из винтовки с диоптрическим прицелом, если известно, что мишень не была поражена.
Занятие 3. Повторение событий. Формула Бернулли. Интегральная и локальная теоремы Лапласа.
Задание 3.1. Всхожесть семян ржи составляет 90 'Л. Чему равна вероятность того, что из 7 посеянных семян взойдет 5?
Задание 3.2. Монета бросается пять раз. Найти вероятность того, что орел выпадет 2 раза.
Задание 3.3. В семье 5 детей. Найти вероятность того, что среди них 2 мальчика, если вероятность рождения мальчика равна 0,51.
Задание 3.4. Вероятность обнаружения опечатки на странице книги равна 0,01. Найти вероятность того, что в 500-страничной книге не будет обнаружено опечаток (обнаружение опечаток на различных страницах считать независимыми событиями).
Задание 3.5. Фабрика выпускает 70 % изделий высшего сорта. Найти вероятность того, что в партии из 1000 изделий число первосортных заключено между 652 и 760.
Задание 3.6. Цех выпускает в среднем 80 % продукции 1-го сорта. Какова вероятность того, что в партии из 125 изделий будет больше 100 изделий 1-го сорта?
Задание 3.7. Вероятность изготовления детали высшего сорта равна 0.4. Найти вероятность того, что из 260 деталей половина будет высшего сорта.
Задание 3.8. Вероятность изготовления изделия высшего качества равна 0,8. Найти вероятность того, что среди взятых 60 изделий 30 окажутся высшего качества.
Задание 3.9. Вероятность некоторого события в единичном испытании оставляет 0,004. Найти вероятность того, что в 2500 испытаниях данное событие произойдёт ровно 4 раза.
Задание 3.10 Монету бросают шесть раз. Какова вероятность того, что герб выпадет ровно четыре раза?
Задание 3.11. Вероятность устройства на работу, после окончания нефтегазового университета в компанию «Шлюмберже», студентам очного отделения 51%, а заочного отделения -49%. Какова вероятность того, что из трех потоков студентов окажутся принятыми на работу компанией «Шлюмберже» не более одного студента заочного отделения?
Задание 3.12. На потоке учатся 200 студентов. Какова вероятность, что у двоих из них день рождения придется на 1 января?
Задание на дом.
1. Партия изделий содержит 5 % брака. Найти вероятность того, что среди вынутых наугад 4-х изделий окажется 2 бракованных.
2. Вероятность наступления события А в одном опыте равна 0,6. Найти вероятность того, что событие А наступит 1400 раз в 2400 испытаниях.
3. Монета подброшена 40 раз. Найти вероятность того, что орел выпадает в 25 случаях.
4. Вероятность изготовления изделия высшего качества равна 0,8. Найти вероятность того, что среди взятых 60 изделий 30 окажутся высшего качества.
5. Вероятность появления события А в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и равна 0,8. Найти вероятность того, что событие А появится не более 74 раз.
Занятие 4. Дискретные случайные величины. Законы распределения дискретной случайной величины.
Задание 4.1. Дискретная случайная величина задана законом распределения. Построить многоугольник распределения.
а)
| Х | ||||
| р | 0,1 | 0,6 | 0,2 | 0,1 |
б)
| Х | -3 | |||
| р | 0,1 | 0,5 | 0,1 | 0,3 |
в)
| Х | |||||
| р | 0,1 | 0,2 | 0,4 | 0,2 | 0,1 |
Задание 4.2. Устройство состоит из трёх независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте.
Задание 4.3. В партии 10 % нестандартных деталей. Наугад отобраны 4 детали. Написать биномиальный закон распределения дискретной случайной величины – числа нестандартных деталей среди четырёх отобранных и построить многоугольник полученного распределения.
Задание 4.4. В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Наугад отобраны две детали. Составить закон распределения числа стандартных деталей среди отобранных.
Задание 4.5. Вероятность того, что стрелок попадёт в цель при одном выстреле, равна 0,8. стрелку выдаются патроны до тех пор, пока он не промахнётся. Требуется: а) составить закон распределения дискретной случайной величины – числа патронов, выданных стрелку; б) найти наивероятнейшее число патронов, выданных стрелку.
Задание 4.6. Учебник издан тиражом 100000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0, 0001. Требуется: а) составить закон распределения дискретной случайной величины – количества бракованных учебников в тираже; б) найти вероятность того, что тираж содержит ровно 5 бракованных книг.
Задание на дом.
1.Две игральные кости одновременно бросают два раза. Написать биномиальный закон распределения дискретной случайной величины – числа выпадения чётной суммы очков на двух костях.
2. В партии из шести деталей имеется четыре стандартных. Наудачу отобраны три детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины – числа стандартных деталей среди отобранных.
Занятие 5. Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства. Дисперсия дискретной случайной величины и её свойства. Среднее квадратическое отклонение. Закон больших чисел.
Задание 5.1. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины 
, если известны математические ожидания величин 
и 
: 
.
а) 
;
б) 
;
в) 
.
Задание 5.2. Дискретная случайная величина принимает три возможных значения: 
с вероятностью 
, 
с вероятностью 
и 
с вероятностью 
. Найти и , зная, что 
.
Задание 5.3. Дан перечень значений дискретной случайной величины : 
, а также известны математические ожидания самой этой величины и её квадрата: 
. Найти вероятности 
.
Задание 5.4. Найти дисперсию дискретной случайной величины , если известны дисперсии величин и : 
.
а) ;
б) ;
в) .
Задание 5.5. Дискретная случайная величина имеет только два возможных значения 
и 
, причём 
. Найти закон распределения величины , если 
.
Задание 5.6. Дискретная случайная величина имеет только два возможных значения и , причём . Найти закон распределения величины , если 
.
Задание 5.7. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретных случайных величин.
а)
| Х | |||
| Р | 0,1 | 0,6 | 0,3 |
б)
| Х | -9 | -1 | ||
| Р | 0,1 | 0,5 | 0,1 | 0,3 |
Задание на дом.
1. Дискретная случайная величина имеет только три возможных значения , и причём 
. Найти закон распределения величины , если 
.
2. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины.
| Х | -3 | |||
| р | 0,1 | 0,3 | 0,3 | 0,3 |
