Лекции.Орг


Поиск:




Плоское движение твердых тел




Пусть к телу, как будто плавающему на поверхности воды, в некоторой точке приложена сила F 0 (рис. 10.2). Мысленно приложим к особой точке тела, называемой центром масс, две равные и противоположные силы F 1 и F 2, параллельные и равные силе F 0. Под действием силы F 2, тело совершает поступательное движение. А пара сил F 0 и F 1создает момент сил M 0 =F 0 d, под действием которого тело вращается.

Итак, плоское движение тела можно представить как сумму двух движений: поступательного со скоростью центра масс и вращения вокруг оси, проходящей через центр масс под действием результирующей пар сил.

Возможно другое представление плоского движения. Пусть скорость точки О – центра масс тела равна (рис. 10.2). Проведём в плоскости движения перпендикуляр АОС к вектору скорости V 0. Так как тело твёрдое, то огибающая линия концов векторов скоростей точек является прямой линией. Она и перпендикуляр пересекутся в некоторой точке С, скорость которой равна нулю. Через неё проходит так называемая мгновенная ось вращения, относительно которой тело совершает только вращательное движение с угловой скоростью . Положение мгновенной оси со временем меняется.

Примером плоского движения является качение колеса по рельсу. Если проскальзывания нет, то мгновенная ось вращения совпадает с линией касания колесной пары с рельсами, и перемещается со скоростью вагона.

Соответственно двум способам представления плоское движение может быть описано: либо уравнением основного закона динамики вращательного движения относительно мгновенной оси

, (10.3)

либо системой двух уравнений: второго закона Ньютона для поступательного движения тела как материальной точки, расположенной в центре масс, и основного закона динамики вращательного движения тела относительно оси, проходящей через центр масс

и (10.4)

В уравнениях J 0 и Jс – моменты инерции тела относительно выбранных осей вращения О или С. Соотношение между моментами инерции тела относительно осей О или С определяют по теореме Штейнера.

Теорема Штейнера

Момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении и по определению равен сумме произведений масс частиц тела mi на квадраты их расстояний r до оси вращения:

. (10.5)

Представим вектор от оси С– С до некоторой точки массы mi как сумму векторов (рис. 10.3). Подставив в определяющую формулу момента инерции (10.5) радиус - вектор r и возведя сумму в квадрат, получим

 

. (10.6)

 

Первый член этого уравнения J 0 – момент инерции тела относительно оси О – О, проходящей через центр масс. Во втором члене сумма определяет положение центра масс относительно оси О – О, и так как ось проходит через центр масс, то эта сумма равна нулю. Третий член – это произведение суммы масс частиц (то есть массы тела) на квадрат расстояния между осями. Итак, момент инерции равен

 

Jс = J 0 + m а 2. (10.7)

 

Это уравнение теоремы Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс и параллельной данной оси, и произведению массы тела на квадрат расстояния между осями.

В тех случаях, когда момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс J 0 , можно сравнительно легко рассчитать, теорема Штейнера позволяет определить момент инерции относительно произвольной оси Jс, избежав весьма трудоемких расчетов.





Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2016-09-03; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 573 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Либо вы управляете вашим днем, либо день управляет вами. © Джим Рон
==> читать все изречения...

827 - | 692 -


© 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.009 с.