Аккумулирование энергии маховиком

На электропоездах с их частыми остановками и разгонами аккумулирование кинетической энергии при торможении и использование её для последующего разгона чрезвычайно актуально. Для этого можно использовать маховик как накопитель энергии.

Оценим энергетические возможности маховика. Кинетическая энергия вращения равна

(11.6)

 

где J – момент инерции маховика относительно оси вращения, ω – угловая скорость. Пусть для примера, маховик имеет форму кольца с моментом инерции J = m R². Кольцо соединяется со ступицей вала, например спицами, масса которых сравнительно невелика (рис. 11.3).

Определим наибольшую скорость вращения без разрыва кольца центробежными силами. В сечении кольца центробежные силы вы-зывают силы растяжения. Для их определения вырежем мысленно из кольца малый элемент длиной dl = Rdα. Рассмотрим равновесие элемента кольца. На него в системе отсчета "кольцо" действует центробежная сила инерции dF_цб = dm ω²R. Масса элемента равна произведению плотности материала ρ на объем: dm = ρ S R dα. Здесь S – площадь сечения. Тогда величина центробежной силы, действующей на элемент, будет равна dF_цб = ρ S ω ² R ² dα.

Со стороны кольца в сечении разрезов на элемент действуют две одинаковые по величине силы растяжения: F ₁ и F ₂. По условию равновесия сумма сил должна быть равна нулю: Из треугольника сил (рис. 12.3).. Подставив формулу центробежной силы, получим силу, разрывающую кольцо

 

F = ρ S R²ω². (11.7)

 

Напряжения растяжения не должны превышать предела прочности материала . Откуда предельная допустимая скорость вращения маховика будет равна

(11.8)

Подставив предельное значение угловой скорости вращения в формулу кинетической энергии маховика, получим величину энергии, которую может запасти вращающийся маховик без опасности разрыва

. (11.9)

Например, механическая энергия электропоезда массой 200 т, при начальной скорости V = 15 м/с, будет 22,5 МДж. Тогда объем стального маховика с допустимым напряжением σ_пр= 0,5∙10 ⁹ Н/м² . Не так уж много.

Задачи

 

1. При рекуперативном торможении поезда массой 360 т для обеспечения равномерного движения на спуске высотой 5 м энергия запасается в маховике в форме диска массой 1,0 т и радиусом 1 м. Определить скорость вращения маховика в конце спуска. Потерями на трение пренебречь.

2. К шкиву тягового двигателя, установленного на стенде, прижата тормозная колодка с силой 1,0 кН. Определить мощность двигателя при частоте вращения 1200 об/мин, если диаметр шкива 0,20 м, коэффициент трения скольжения 0,20.

3. Определить, во сколько раз отличается кинетическая энергия вагона массой 40 т с учетом и без учета энергии вращения колес. Масса колес 1800 кг, их радиус 0,51 м. Колеса считать однородными дисками.

4. Колесная пара массой 1400 кг закатывается со скоростью 1 м/с на подъем с уклоном 0,010. Определить кинетическую энергию, если колеса считать дисками. Какой путь пройдет колесная пара, если коэффициент трения качения 0,005? Определить силу сцепления колес с рельсами.

5. Определить, какой дополнительный путь мог бы проехать моторный вагон массой 40 т при скорости 10 м/с, если еще учесть кинетическую энергию якоря электродвигателя с моментом инерции 50 кг м². Передаточное отношение редуктора 5,2. Коэффициент сопротивления 0,003.Диаметр колес 1,02 м.

6. С какой скоростью скатится порожний вагон массой 20 т с сортировочной горки высотой 2 м и длиной 120 м, если масса всех колес 6 т. Коэффициент сопротивления 0,002. Колеса считать дисками диаметром 1,02 м.

7. Колесная пара скатывается с горки высотой 0,50 м и длиной 15 м. Какую скорость приобретут колеса в конце спуска? Коэффициент сопротивления 0,004. Определить величину и направление силы сцепления. Колеса считать однородными дисками.

 

 

12. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА

 

Значение момента импульса в механике обусловлено тем, что наряду с импульсом и энергией он обладает свойством сохраняться в замкнутых системах тел.

 

Момент импульса

По определению, момент импульса материальной точки это вектор, равный векторному произведению радиус-вектора точки на вектор импульса:

. (12.1)

 

Выведем формулу момента импульса твердого тела при вращении вокруг неподвижной оси. Пусть твердое тело вращается относительно неподвижной оси. Траектории всех точек тела являются концентрическими окружностями. Для какой-то точки при скорости , момент импульса равен Раскрыв двойное векторное произведение, получим . Произведем суммирование моментов импульсов всех точек тела: . По определению сумма произведений масс частиц тела на квадраты их расстояний до оси вращения является моментом инерции тела J. Тогда момент импульса твердого тела относительно неподвижной оси вращения равен произведению момента инерции тела на угловую скорость:

. (12.2)

 

Момент импульса как и угловая скорость это аксиальный вектор, направление которого,, определяется правилом буравчика. Если вращать вместе с телом ручки буравчика, то поступательное движение буравчика совпадает с направлением вектора момента импульса вдоль оси вращения.