Пример выполнения задания. Уравнения движения материальной точки: x=4·t, см; y=16·t2-1, см.Момент времени: t0,5=0,5 c

Уравнения движения материальной точки: x= 4 ·t, см; y= 16· t ² - 1, см.Момент времени: t _0,5 = 0,5 c.

Решение.

1. Выразив время t=x /4из уравнения для абсциссы x и подставив его в уравнение для ординаты y, получим уравнение у = х ² - 1, уравнение траектории движения точки – уравнение параболы (рисунок 2).

Определим местоположение М материальной точки на траектории в заданный момент времени, положив текущее время t в уравнениях движения равным заданному: t=t _0,5 = 0,5 c,

x _0,5 = 4·0,5=2 см; y _0,5 = 16·0,5²-1=3 см.

Определим местоположение М ₀ материальной точки на траектории в момент начала движения, положив текущее время t в уравнениях движения равным начальному: t=t ₀ = 0 c,

x ₀ = 4·0=0 см; y ₀ = 16·0²-1=-1 см.

Траекторией движения материальной точки является правая ветвь параболы с началом в положении М ₀, уходящая в бесконечность.

2. Скорость движения материальной точки определим, найдя ее горизонтальную и вертикальную составляющие.

Для этого найдем ее (их) проекции v_x и v_y на оси декартовой системы координат дифференцированием уравнений движения.

; v_x = х^’ = 4 см/с; v_y = y^’ = 32· t= 32·0,5=16 см/с.

Модуль скорости: см/с.

3. Ускорение материальной точки определим, найдя его горизонтальную и вертикальную составляющие.

Для этого найдем его (их) проекции и на оси декартовой системы координат повторным дифференцированием уравнений движения.

a_x= х^’’= v_x^’ = 4 ^’= 0 см/с²; a_y= y^’’= v_y^’ = (32· t) ^’= 32 см/с².

Модуль ускорения: см/с².

4. Проекцию ускорения точки на касательную найдем по формуле

см/с².

Знак «+» соответствует ускоренному движению материальной точки в данном положении M на траектории в данный момент t _0,5 времени.

5. Проекцию ускорения точки на нормаль найдем по формуле

см/с².

6. Радиус ρ кривизны траектории движения точки в рассматриваемом положении определим по формуле см.

 

7. Кривизна K траектории движения точки в рассматриваемом положении равна: см^-1.

Модуль нормального ускорения для случая движения точки по траектории постоянной кривизны (окружность, прямая), когда радиус кривизны известен, следует определить по формуле

, ρ =R для окружности радиуса R, ρ =∞ для прямой.

Тогда модуль касательного ускорения в случае движения по окружности следует определить так: .

На рисунке 2 показано положение точки М взаданный момент времени. Вектор построен по составляющим и , причем этот вектор должен совпадать с касательной к траектории. Вектор построен посоставляющим и ,затем разложен на составляющие и .Знаки величин и , вычисленных аналитически, должны соответствовать направлениям составляющих и .

Рисунок 2 – Траектория движения материальной точки, ее скорость и ускорение,

его касательная и нормальная составляющие

 

Результаты вычислений для заданного момента времени t _0,5= 0,5 с приведены в таблице 4.

 

Таблица 4 – Кинематические параметры материальной точки в заданный момент времени

Координаты точки, см	Проекции скорости и скорость точки, см/с	Проекции ускорения и ускорение точки, см/с2	Радиус кривизны траектории, см
x	y	vx	vy	v	ax	ay	a	a t	an	ρ
2,0	3,0	4,0	16,0	16,5		32,0	32,0	31,0	7,8	35,0

Задание К.3. Кинематический анализ плоского механизма

 

Найти для заданного положения механизма скорости и ускорения точек В и С, а также угловую скорость и угловое ускорение звена, которому эти точки принадлежат. Необходимые для расчета исходные данные приведены в таблице 5, а схемы механизмов приведены в таблице 6.

 

Таблица 5 – Исходные данные к заданию К.3

Вариант	Размеры, см	w OA, рад/с	w1, рад/с	e OA, рад/с2	u А, см/с	аА, см/с2
OA	r	AB	AC
			–			–		–	–
			–			–		–	–
	–		–	–	–	–	–
		–	–			–		–	–
		–	–			–		–	–
			–			1,5		–	–
		–				–		–	–
	–	–			–	–	–
	–	–			–	–	–
		–				–		–	–
	–	–			–	–	–
	–	–			–	–	–
		–				–		–	–
			–					–	–
			–			–		–	–
			–	–		–		–	–
	–		–		–	–	–
		–				–		–	–
			–					–	–
	–	–			–	–	–
		–				–		–	–
		–				–		–	–
	–	–			–	–	–
		–				–		–	–
		–				–		–	–
			–					–	–
	–		–		–	–	–
		–				–		–	–
		–				–		–	–
		–	–			–		–	–
Примечание – w OA и e OA – угловая скорость и угловое ускорение кривошипа ОА при заданном положении механизма; w1 – угловая скорость колеса I (постоянная); uА и аА – скорость и ускорение точки А. Качение колес происходит без скольжения

Таблица 6 – Схемы механизмов к заданию К.3

Продолжение таблицы 6

Продолжение таблицы 6