Пример выполнения задания

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Бийский технологический институт (филиал)

государственного образовательного учреждения

высшего профессионального образования

Алтайский государственный технический университет

им. И.И. Ползунова»

 

А.В. Жеранин, В.А. Беляев

 

 

РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ

 

Методические рекомендации по выполнению расчетных заданий
для специальностей 151001, 170104, 190603, 240706, 160302, 260601, 270109

 

 

Бийск

Издательство Алтайского государственного технического университета
им. И.И. Ползунова

2010

УДК 531.8

 

Рецензент: к.т.н. доцент кафедры АТ БТИ АлтГТУ А.М. Третьяков

 

Жеранин, А.В.

Расчетные задания по теоретической механике: методические рекомендации по выполнению расчетных заданий для специальностей 151001, 170104, 190603, 240706, 160302, 260601, 270109 / А.В. Жеранин, В.А. Беляев; Алт. гос. техн. ун-т, БТИ. – Бийск: Изд-во Алт. гос. техн. ун-та, 2010. – 60 с.

 

Методические рекомендации содержат 8 заданий в 30-ти вариантах по статике, кинематике, динамике и аналитической механике для выполнения расчетных заданий по курсу «Теоретическая механика» для студентов специальностей 151001, 170104, 190603, 240706, 160302, 260601, 270109. Приведены примеры выполнения заданий.

 

УДК 531.8

 

 

Рассмотрены и одобрены

на заседании кафедры

теоретической механики.

Протокол № 7 от 04.03.2010 г.

 

 

© Жеранин А.В., Беляев В.А., 2010

© БТИ АлтГТУ, 2010

СОДЕРЖАНИЕ

 

Введение........................................................................................................................................ 4

1 Статика........................................................................................................................................ 5

1.1 Задание С.1. Определение реакций опор твердого тела................................................. 5

2 Кинематика............................................................................................................................... 11

2.1 Задание К.1. Определение скорости и ускорения материальной точки по заданным уравнениям ее движения................................................................................................ 11

2.2 Задание К.3. Кинематический анализ плоского механизма......................................... 14

2.3 Задание К.7. Определение абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки.. 20

3 Динамика.................................................................................................................................. 27

3.1 Задание Д.1. Вторая (обратная) задача динамики материальной точки...................... 27

3.2 Задание Д.6. Применение основных теорем динамики к исследованию движения материальной точки................................................................................................................................. 39

3.3 Задание Д.10. Применение теоремы об изменении кинетической.............................. 45

энергии к изучению движения механической системы...................................................... 45

4 Аналитическая механика........................................................................................................ 53

4.1 Задание Д.16. Применение принципа Даламбера к определению динамических реакций связей (опор)................................................................................................................................. 53

Литература................................................................................................................................... 59

 

 

Введение

 

Теоретическая механика играет существенную роль в подготовке инженеров механических специальностей. На основных законах и принципах механики базируются многие общепрофессиональные дисциплины, такие как сопротивление материалов, гидравлика, теория механизмов и машин, детали машин и др.

На основе теорем и принципов теоретической механики решаются многие инженерные задачи и осуществляется проектирование различных машин, конструкций и сооружений.

Усвоение курса теоретической механики требует не только изучения теоретических положений, но и приобретения навыков в решении практических задач. Для этого необходимо уметь самостоятельно решать большое количество задач по всем разделам механики.

В настоящих методических указаниях представлены расчетные задания по статике, кинематике, динамике и аналитической механике для студентов специальностей 151001, 170104, 190603, 240706, 160302, 260601, 270109.

Расчетные задания выдаются в соответствии с образовательным стандартом дисциплины в начале каждого семестра по основным разделам курса теоретической механики, а именно:

– во 2-м (весеннем) семестре расчетное задание включает одно задание по статике и три по кинематике;

– в 3-м (осеннем) семестре три задания по динамике и одно по аналитической механике.

Каждое задание выполняется студентами отдельно и защищается перед преподавателем в установленные графиком сроки (в соответствии с памяткой по изучению дисциплины).

Своевременность сдачи, правильность выполнения и оформления заданий, а также качество обнаруженных знаний, умений и навыков учитываются при выставлении рейтинговой отметки.

Неправильно выполненное и (или) не надлежащим образом оформленное задание возвращается студенту для исправления и доработки.

При защите расчетного задания студент должен пояснить ход и сущность выполненных действий, ответить на поставленные вопросы и в отдельных случаях решить предложенные ему примеры.

Статика

 

Задание С.1. Определение реакций опор твердого тела

Даны три способа закрепления конструкции. Задаваемая нагрузка (таблица 1) и размеры (м) во всех трех случаях одинаковы. На схемах (таблица 2) показаны три способа закрепления твердого тела (материальный ломаный отрезок), ось которого – ломаная линия.

Определить реакции опор для того способа закрепления твердого тела, при котором реакция, указанная в таблице 1, имеет наименьший модуль.

 

Таблица 1 – Исходные данные к заданию С.1

Номер вари- анта	Р, кН	M, кН·м	q, кН/м	Исследуемая реакция	Номер вари- анта	Р, кН	M, кН·м	q, кН/м	Исследуемая реакция
I		б		YA					МA
				MA					YA
				YB					Ха
				YB			б		RB
			-	ХB			-		YA
				МА					MA
				XA					YA
				RB					МА
		б	-	YA					YA
				ХA					XA
				RB					MA
				YA			б		XA
				YA					YA
				YA			-		MA
				XA					RB

 

Пример выполнения задания.

Дано:

– схемы закрепления твердого тела (материальный ломаный отрезок) нагруженного произвольно плоской системой сил (рисунок 1 а, б, в);

– внешние активные силы (нагрузки): Р= 5кН; М= 8к·Н; q= 1,2кН/м.

Определить реакции опор для того способа закрепления, при котором момент М_А (М_А – исследуемая реакция) в заделке имеет наименьшее числовое значение.

 

Решение. Применяем принцип освобождаемости от связей, заменяя (отображая) действие связей на рассматриваемое тело их реакциями. На рисунке 1 реакции X_A, Y_A, M_A – схема а; R_B, Y_A^’, M_A^’ – схема б; X_B, Y_B, M_A^” – схема в.

Равномерно распределенную нагрузку интенсивностью q заменяем сосредоточенной силой Q, ее равнодействующей: Q = q · 2= 1.2 · 2 = 2,4 кН.

Чтобы выяснить, в каком случае момент в заделке (исследуемая реакция) является наименьшим, найдем его для всех трех схем, не определяя пока остальных реакций.

Для схемы а:

SМ_Ai = 0 ;М_А - Р · 2sin45° + М - Q · 5 = 0, откуда

М_А = Р · 2sin45° - М + Q · 5 = 5 · 2 0,71 - 8 + 2,4 · 5 = +11,07 кН · м.

Для схемы б:

SМ_Ci =0; М'_А + М - Q · 5 = 0, откуда

M_A^’= -М + Q · 5 = -8 + 2,4 · 5=+4,00кН · м.

Для схемы в:

SМ_Bi =0; M_A^”+ Р · BD + М + Q · 1 = 0, откуда

M_A^” = - Р · BD - М - Q · 1 =- 5 · 4,24 - 8 – 2,4 · 1 = -31,61 кН · м.

Здесь: BD = BE + ED = +2 · = 4,24 м.

Наименьшим момент в заделке оказался при закреплении тела по схеме б. Определим остальные опорные реакции для этой схемы:

S X_i = 0; Р · cos45° - R_B = 0, откуда

R_B = Р · cos45°= 5 · 0.71=+3,54 кН;

S Y_i = 0; Y_A^’ - Р · sin45° - Q = 0, откуда

Y'_A = Р · sin45° + Q = 5 · 0,71 + 2,4 =+5,94 кН.

Ответ. Реакции (проекции реакций на оси декартовой системы координат) опор при способе закрепления тела по схеме б, при котором момент М_А (М_А – исследуемая реакция) в заделке имеет наименьшее числовое значение, равны:

M_A^’ =+4,00 кН · м; R_B = +3,54 кН; Y'_A = +5,94 кН.

 

Рисунок 1 – Рисунки к заданию С.1 и расчетные схемы
для трех вариантов закрепления тела

 

Таблица 2 – Расчетные схемы к заданию С.1

Продолжение таблицы 2

Продолжение таблицы 2

Продолжение таблицы 2

 

 

Кинематика

Задание К.1. Определение скорости и ускорения материальной точки по заданным уравнениям ее движения

 

По заданным координатным способом уравнениям x=f (t); y=f (t)движения материальной точки М установить вид ее траектории и для момента времени t _0,5 найти положение M точки на траектории, ее скорость , полное , касательное и нормальное ускорения, а также радиус ρ кривизны и кривизну K траектории. Необходимые для решения данные приведены в таблице 3.

 

Таблица 3 – Исходные данные к заданию К.1

Номер вари- анта	Уравнения движения	Момент времени
x=f (t), см	y=f (t), см	t, с
	-2· t 2 +3	-5× t	0,5
	4×cos2(π· t /3) +2	4×sin2(π· t /3)
	-cos(π· t /3) +3	sin(π· t /3) -1
	4/ t + 4	-4/(t +1)
	2×sin(π· t /3)	-3×соs(π· t /3) + 4
	3· t 2 + 2	-4× t	0,5
	3· t 2 - t + 1	5· t 2 - 5· t /3 - 2
	7·sin(π· t /6) + 3	2-7·cos(π· t /3)
	-3 /(t + 2)	3· t + 6
	-4·cos(π· t /3)	-2·sin(π· t /3) - 3
	-4 t 2 + 1	-3· t	0,5
	5·sin2(π· t /6)	-5·cos2(π ·t /6) -3
	5·cos(π· t /3)	-5·sin(π· t /3)
	-2· t - 2	-2/(t+1)
	4·cos(π· t /3)	-3·sin(π·t/3)
	3· t	4· t 2 + 1	0,5
	7·sin2(π· t /6) -5	-7·cos2(π· t /6)
	1+3·cos(π· t /3)	З·sin(π· t /3) + 3
	-5· t 2 - 4	3· t
	2 - 3· t - 6· t 2	3 – 3· t /2 – 3· t 2
	6·sin(π· t /6) - 2	6·cos(π· t /6) + 3
	7· t 2 - 3	5· t	0,25
	3 - 3· t 2 + t	4 - 5· t 2 + 5· t /3
	-4·cos(π· t /3) - 1	-4·sin(π· t /3)
	-6· t	-2· t 2 - 4
	8·cos2(π· t /6) + 2	-8·sin2(π· t /6) - 7
	-3 -9·sin(π· t /6)	-9·cos(π· t /6) + 5
	-4· t 2 + 1	-3· t
	5· t 2 + 5· t /3 - 3	3· t 2 + t + 3
	2·cos(π· t /3) - 2	- 2·sin(π· t /3) + 3	1