Количественные характеристики взаимосвязи пары случайных переменных

Переменная величина x с множеством возможных значений Ax называется случайной, если ее возможные значения ti появляются в некотором опыте со случайными элементарными исходами ui вида: ui: x= ti, где ti.

Для описания случайных величин часто используются их числовые характеристики – числа, в сжатой форме выражающие наиболее существенные черты распределения СВ. Наиболее важными из них являются математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение и др.

· Математическим ожиданием, или средним значением, М(Х) дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех её значений на соответствующие им вероятности:

Для мат. ожидания используют также обозначения: E(X),

При n→∞ мат. ожидание представляет сумму ряда , если он абсолютно сходится.

Свойства мат. ожидания:

1) M(C)=C, где C – постоянная величина;

2) M(kX)=kM(X);

3)M(X±Y)=M(X)±M(Y);

4) M(XY)=M(X)•M(Y), где X,Y – независимые случайные величины;

5) M(X±C)=M(X)±C

6) M(X-a)=0, где a=M(X).

· Дисперсией D(X) случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата её отклонения от математического ожидания: D(X)=M[X-M(X)]2 или D(X)=M(X-a)2 (3), где a=M(X).

(Для дисперсии СВ Х используется также обозначение Var(X).)

Дисперсия характеризует отклонение (разброс, рассеяние, вариацию) значений СВ относительно среднего значения.

Если СВ Х – дискретная с конечным числом значений, то . (4)

Дисперсия D(X) имеет размерность квадрата СВ, что не всегда удобно. Поэтому в качестве показателя рассеяния используют также величину .

· Средним квадратическим отклонением (стандартным отклонением или стандартом) σх случайной величины Х называется арифметическое значение корня квадратного из её дисперсии: . (5)

Свойства дисперсии СВ:

1) D(C)=0, где C – постоянная величина;

2) D(kX)=k2D(X);

3) D(X)=M(X2)-a2 где a=M(X);

4)D(X+Y)=D(X-Y)=D(X)+D(Y), где X и Y – независимые случайные величины.

· ковариация двух случайных переменных

По определению ковариацией двух случайных переменных X и Yесть:

COV(x,y)= M((x-M(x))(y-M(y))) (4.6)

Значение ковариации отражает наличие связи между двумя случайными переменными

Если COV(x,y)>0, связь между X и Y полож-ая

Если COV(x,y)<0, связь между X и Y отриц-ная

Если COV(x,y)=0, X и Y независ переменные

Обл-ть возмож знач-й ков-ции – вся числ-ая ось

Свойства ковариаций

Cov(x,y) = Cov(y,x)

Cov(c₁x₁ + c₂x₂)=c₁c₂Cov(x₁,x₂)

Cov(cx) 0

Cov(x+c,y) = Cov(x,y)

Cov(x+y,z) = Cov(x,z) + Cov(y,z)

Cov(x,x) = σ²(x)

· коэффициент корреляции 2х случ переменных

Недостатки ковариации в том, что ее значения зависят от масштаба измерения переменных и наличии размерности

Недостатки устраняется путем деления значения ковариации на значения стандартных отклонений переменных:

(4.7)

Выражение (4.7) называют коэффициентом корреляции двух случайных переменных

Коэффициент корреляции изменяется в пределах [-1;1] и является безразмерной величиной