Автокорреляция. Методы устранения автокорреляции

F-тест качества спецификации множественной регрессионной модели.

F-тест - оценивание качества уравнения регрессии - состоит в проверке гипотезы Н₀ о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого выполняется сравнение фактического F_факт и критического (табличного) F_табл значений F-критерия Фишера. F_факт определяется как

гду n — число единиц совокупности; m - число параметров при переменных х

F_табл – это максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости а. Уровень значимости а - вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна.

Если F_табл<F_факт, то Н₀ - гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность. Если F_табл>F_факт, то гипотеза Н₀ не отклоняется и признается статистическая незначимость, ненадежность уравнения регрессии.

Автокорреляция случайного возмущения. Причины. Последствия.

Зависимость возмущений в различные моменты времени называется автокорреляцией (сериальной корреляцией). При наличии автокорреляции между элементами вектора случайных возмущений, его количественные характеристики равны:

Е{ }=0

Где Ϭ²- дисперсия возмущения.

Причины автокорреляции

Основными причинами в регрессион. моделях являются:

1) ошибки спецификации модели (пропуск объясняющей переменной, использование ошибочной функциональной зависимости между переменными и т.д.)

2) ошибки измерений

3) характер наблюдений (напр. данные временных рядов).

Последствия автокорреляции

При наличии автокорреляции МНК обеспечивает несмещенные оценки параметров, т. к. первая предпосылка Гаусса-Маркова выполняется,

Е{b^}=E{AY}=AXb+AE{ }=b,

Но оценка дисперсии возмущения смещенная: Е{s^2} .

Это можно показать след образом. В качестве оценки дисперсии возмущения используется оценка: .

Вектор остатков регрессии е=М при наличии автокорреляции возмущений имеет следующие основные количественные характеристики:

Е(е)=0

В этом случае

Что приводит к нарушению свойства несмещенности оценки дисперсии возмущения.

Смещенностьоценки дисперсии возмущений приводит к неадекватным оценкам:

1) автоковариационной матрицы оценок параметров

2) границ доверительных интервалов параметров модели и значений эндогенной переменной.

Автокорреляция уровней временного ряда и ее последствия.

Автокорреляция. Методы устранения автокорреляции.

Предположим, что истинная модель задается выражением уt = а + bхt + иt (7.20), так что наблюдения t и t - 1 формируются как yt = a + bxt + ut- (7.23) yt-1 = a + b xt-1 + ut-1, (7.24)

Теперь вычтем из обеих частей уравнения (7.23) умноженное на р соотношение (7.24) и получим: t-рУt-i = (7.25)

Обозначим y~t = yt -pyr-1, x~t = xt –pxt-1 и q~t = 1-p. Тогда формулу (7.25) можно переписать как (7.26)

Вместе с тем из уравнения (7.21) имеем ut -p ut -1 = ,. Таким образом, формула (7.26) принимает вид: . (7.27)

Мы предположили, что р известно. Тогда можно вычислить величины y~t, x~t, и qt (последняя одинакова для всех наблюдений) для наблюдений, включающих от 2 до Т исходных данных. Если теперь оценить регрессию между yt, xt и qt (заметим, что в уравнение не должна включаться постоянная), то будут получены оценки а и р, не связанные с проблемой автокорреляции, поскольку, согласно предположению, значения г не зависят друг от друга.

Остается, однако, небольшая проблема. Если в выборке нет данных, предшествующих первому наблюдению, то мы не сможем вычислить у{ и хх и потеряем первое наблюдение. Число степеней свободы уменьшается на единицу, и это вызовет потерю эффективности, которая может в небольших выборках перевесить повышение эффективности от устранения автокорреляции.

Эту проблему, к счастью, можно довольно легко обойти, пользуясь так называемой поправкой Прайса—Уинст. 1954). Случайный член , согласно определению, не зависит от значения и в любом предшествующем наблюдении.

В частности, все величины ,..., не зависят oт u1. Следовательно, если при устранении автокорреляции все другие наблюдения преобразуются, то не требуется преобразовывать первое наблюдение. Можно сохранить его, включив в новую схему, полагая, что у~1=у1, q~1= 1, х~1 =x1. Мы можем таким способом спасти первое наблюдение.