Интервальная оценка параметров уравнения парной регрессии

При построении интервальных оценок используются специальные статистики с известным распределением. Для построения доверительных интервалов параметров парной регрессионной модели a и b формируются t-статистики, включающие вспомогательные случайные величины:

V=Σe_t^2/σ^2, Z_b=(b-b^)/σ_b^ Z_a=(a-a^)/σ_a^

Добавим к предпосылкам классической регрессионной модели предпосылку нормального распределения случайного возмущения ε_t примерно равно N(0, ϭ^2), тогда статистика V имеет распределение хи-квадрат, а статистики Z_a и Z_b - нормально распределены.

Покажем, что Z_b=(b-b^)/σ_b^ - N(0,1) и Z_a=(a-a^)/σ_a^ - N(0,1)

Из нормальности распределения возмущений следует нормальность совместного распределения выборочных данных Y_t, (t=1,…,n), а т.к. МНК-оценки коэффициентов регрессии a^ и b^ являются линейными функциями Y_t, то их совместное распределение также является нормальным, и a^ - N(a, σ_a^^2), b^ - N(b, σ_b^^2).

Распределения ошибок оценок параметров: b-b^ - N(0, σ_b^^2), a-a^ - N(0, σ_a^^2), действительно

E(a-a^)=a-E(a^)=0, E(b-b^)=b-E(b^)=0, т.к. МНК – оценки b^ и a^ являются несмещенными. Дисперсии: Var{a-a^}=Var{a^}= σ_a^^2, Var{b-b^}=Var{b^}= σ_b^^2.

Следовательно, случайные величины Z_b=(b-b^)/ σ_b^ и Z_a=(a-a^)/ σ_a^ имеют нормальное распределение с нулевым матем. ожиданием и единичной дисперсией Z_a – N(0,1), Z_b – N(0,1).

Статистика, сформированная по правилу t=Z/ √V/k, где Z – стандартная нормальная случайная величина, а V – независимая от Z величина, распределенная по закону хи-квадрат с k степенями свободы, имеет t-распределение (Стьюдента) с параметром k. Таким образом, случайные величины tb=Zb/√V/(n-2) = Zbσ/√Σet^2/(n-2) = Zbσ/√s^2 = ((b-b^)σ)/ σb^*s,

ta= Za/√V/(n-2) = Zaσ/√Σet^2/(n-2) = Zaσ/√s^2 = ((b-b^)σ)/ σa^*s.

Представляют собой t-статистики с параметром n-2. Преобразуем выражения для данных статистик к виду, удобному для вычисления. В силу того что σb^/σ=sb^/s и σa^/σ=sa^/s, значения t-статистик удобно вычислять по формулам:

t_b=(b-b^)/s_b^, t_a=(b-b^)/s_a^, где s_b^^2=s^2/Σx_t^2, s_a^^2=s^2 * ΣX_t^2/nΣx_t^2.

Выражения представляют собой нормированные ошибки оценок параметров и называются дробью Стьюдента. Дробь Стьюдента имеет распределение Стьюдента с (n-2) степенями свободы. Задаваясь некоторым уровнем значимости α, по таблицам t-распределения можно определить критическое значение статистики t_кр и, применяя стандартную процедуру, построить доверительный интервал, который с доверительной вероятностью 1-α накрывает значение статистики t:

P{/t/<t_кр}=2∫₀^taS(t,v)dt=P{-t_кр<t<t_кр}=1-α, где S(t,v) – плотность распределения Стьюдента, t_кр – табличное значение статистики Стьюдента для данной степени свободы v=n-2 и уровня значимости α.

17. Классическая парная регрессионная модель. Спецификация модели. Теорема Гаусса – Маркова.

Зависимость между экономическими переменными типа Y=f(X)+ε (где f(X) – часть эндогенной (зависимой) переменной, полностью объясняемая значением экзогенной (независимой) переменной Х и называемая уравнением регрессии; ε – случайное возмущение – часть зависимой переменной, которая не может быть объяснена значением Х) называется регрессионной зависимостью, эконометрические модели со спецификацией вида: Y=f(X)+ε - регрессионноыми моделями. Регрессионная зависимость является обобщением функциональной зависимости между переменными и при ε=0 сводится к ней.

Независимые переменные в регрессионных моделях называются регрессорами. В зависимости от типа уравнения регрессии регрессионные модели подразделяются на линейные и нелинейные. В зависимости от количества регрессоров, входящих в спецификацию, регрессионные модели подразделяются на модели парной (простой, двумерной) регрессии и модели множественной (многомерной) регрессии. В парной регрессионной модели эндогенная переменная зависит только от одного регрессора.

Спецификация парной линейной регрессионной модели имеет вид Y=a+bX+ε, где а и b – параметры модели, Х – экзогенная переменная (независимая) – регрессор, У – эндогенная переменная (зависимая) – отклик (случайная величина), ε – случайное возмущение (случайная величина), характеризующее отклонение от уравнения регрессии f(X)=a+bX.

Уравнения для отдельных наблюдений зависимой переменной У записываются в виде (схема Гаусса-Маркова) Y_t=a+bX_t+ε_t, где Y_t, X_t, t=1,..,n – выборочные данные (наблюдения), n – объем выборки (количество наблюдений).

Относительно возмущений ε_t, t=1,…,n, в регрессионных моделях принимаются следующие предположения (условия Гаусса-Маркова):

1.математическое ожидание случайных возмущений равно нулю (Е{ε_t}=0, t=1,…,n)

2.дисперсия возмущений постоянна и не зависит от номера (момента) наблюдений t:Var{ ε_t}=const_t=сигма²

3.возмущения для различных наблюдений некоррелированы: Cov{ ε_t, ε_s}=0 при t неравно s

Регрессионная модель Y=a+bX+ε с учетом условий Гаусса-Маркова называется классической регрессионной моделью.