При построении интервальных оценок используются специальные статистики с известным распределением. Для построения доверительных интервалов параметров парной регрессионной модели a и b формируются t-статистики, включающие вспомогательные случайные величины:
V=Σet^2/σ^2, Zb=(b-b^)/σb^ Za=(a-a^)/σa^
Добавим к предпосылкам классической регрессионной модели предпосылку нормального распределения случайного возмущения εt примерно равно N(0, ϭ^2), тогда статистика V имеет распределение хи-квадрат, а статистики Za и Zb - нормально распределены.
Покажем, что Zb=(b-b^)/σb^ - N(0,1) и Za=(a-a^)/σa^ - N(0,1)
Из нормальности распределения возмущений следует нормальность совместного распределения выборочных данных Yt, (t=1,…,n), а т.к. МНК-оценки коэффициентов регрессии a^ и b^ являются линейными функциями Yt, то их совместное распределение также является нормальным, и a^ - N(a, σa^^2), b^ - N(b, σb^^2).
Распределения ошибок оценок параметров: b-b^ - N(0, σb^^2), a-a^ - N(0, σa^^2), действительно
E(a-a^)=a-E(a^)=0, E(b-b^)=b-E(b^)=0, т.к. МНК – оценки b^ и a^ являются несмещенными. Дисперсии: Var{a-a^}=Var{a^}= σa^^2, Var{b-b^}=Var{b^}= σb^^2.
Следовательно, случайные величины Zb=(b-b^)/ σb^ и Za=(a-a^)/ σa^ имеют нормальное распределение с нулевым матем. ожиданием и единичной дисперсией Za – N(0,1), Zb – N(0,1).
Статистика, сформированная по правилу t=Z/ √V/k, где Z – стандартная нормальная случайная величина, а V – независимая от Z величина, распределенная по закону хи-квадрат с k степенями свободы, имеет t-распределение (Стьюдента) с параметром k. Таким образом, случайные величины tb=Zb/√V/(n-2) = Zbσ/√Σet^2/(n-2) = Zbσ/√s^2 = ((b-b^)σ)/ σb^*s,
ta= Za/√V/(n-2) = Zaσ/√Σet^2/(n-2) = Zaσ/√s^2 = ((b-b^)σ)/ σa^*s.
Представляют собой t-статистики с параметром n-2. Преобразуем выражения для данных статистик к виду, удобному для вычисления. В силу того что σb^/σ=sb^/s и σa^/σ=sa^/s, значения t-статистик удобно вычислять по формулам:
tb=(b-b^)/sb^, ta=(b-b^)/sa^, где sb^^2=s^2/Σxt^2, sa^^2=s^2 * ΣXt^2/nΣxt^2.
Выражения представляют собой нормированные ошибки оценок параметров и называются дробью Стьюдента. Дробь Стьюдента имеет распределение Стьюдента с (n-2) степенями свободы. Задаваясь некоторым уровнем значимости α, по таблицам t-распределения можно определить критическое значение статистики tкр и, применяя стандартную процедуру, построить доверительный интервал, который с доверительной вероятностью 1-α накрывает значение статистики t:
P{/t/<tкр}=2∫0taS(t,v)dt=P{-tкр<t<tкр}=1-α, где S(t,v) – плотность распределения Стьюдента, tкр – табличное значение статистики Стьюдента для данной степени свободы v=n-2 и уровня значимости α.
17. Классическая парная регрессионная модель. Спецификация модели. Теорема Гаусса – Маркова.
Зависимость между экономическими переменными типа Y=f(X)+ε (где f(X) – часть эндогенной (зависимой) переменной, полностью объясняемая значением экзогенной (независимой) переменной Х и называемая уравнением регрессии; ε – случайное возмущение – часть зависимой переменной, которая не может быть объяснена значением Х) называется регрессионной зависимостью, эконометрические модели со спецификацией вида: Y=f(X)+ε - регрессионноыми моделями. Регрессионная зависимость является обобщением функциональной зависимости между переменными и при ε=0 сводится к ней.
Независимые переменные в регрессионных моделях называются регрессорами. В зависимости от типа уравнения регрессии регрессионные модели подразделяются на линейные и нелинейные. В зависимости от количества регрессоров, входящих в спецификацию, регрессионные модели подразделяются на модели парной (простой, двумерной) регрессии и модели множественной (многомерной) регрессии. В парной регрессионной модели эндогенная переменная зависит только от одного регрессора.
Спецификация парной линейной регрессионной модели имеет вид Y=a+bX+ε, где а и b – параметры модели, Х – экзогенная переменная (независимая) – регрессор, У – эндогенная переменная (зависимая) – отклик (случайная величина), ε – случайное возмущение (случайная величина), характеризующее отклонение от уравнения регрессии f(X)=a+bX.
Уравнения для отдельных наблюдений зависимой переменной У записываются в виде (схема Гаусса-Маркова) Yt=a+bXt+εt, где Yt, Xt, t=1,..,n – выборочные данные (наблюдения), n – объем выборки (количество наблюдений).
Относительно возмущений εt, t=1,…,n, в регрессионных моделях принимаются следующие предположения (условия Гаусса-Маркова):
1.математическое ожидание случайных возмущений равно нулю (Е{εt}=0, t=1,…,n)
2.дисперсия возмущений постоянна и не зависит от номера (момента) наблюдений t:Var{ εt}=constt=сигма2
3.возмущения для различных наблюдений некоррелированы: Cov{ εt, εs}=0 при t неравно s
Регрессионная модель Y=a+bX+ε с учетом условий Гаусса-Маркова называется классической регрессионной моделью.
