7.1. Види зв’язків між ознаками. Завдання і прийоми вивчення зв’язків
7.2. Знаходження рівнянь регресії
7.3. Вимірювання щільності зв’язку
7.4. Непараметричні методи вивчення взаємозв’язків
Термінологічний словник
| № з/п | Термін | Визначення |
| Рівняння регресії | Визначає середнє значення результативної ознаки (у) при тому чи іншому значенні факторної ознаки (х), якщо решту факторів, що впливають на у і не пов’язані з х, розглядати незмінними, тобто абстрагуватися від них | |
| Кореляційне відношення | Відносна величина, яку отримують в результаті порівняння середнього квадратичного відхилення у ряді вирівняних значень результативної ознаки, тобто розрахованих за рівнянням регресії, із середнім квадратичним відхиленням у ряді емпіричних значень результативної ознаки | |
| Коефіцієнт детермінації | Коефіцієнт, який розраховується шляхом піднесення величини кореляційного відношення до квадрату | |
| Лінійний коефіцієнт кореляції | Коефіцієнт, за допомогою якого вимірюють щільність зв’язку між двома випадковими величинами у випадку лінійної залежності |
Питання для самоконтролю
7.1. Які види зв’язків існують між суспільними явищами?
7.2. Що являють собою функціональні і кореляційні зв’язки?
7.3. Що таке кореляція?
7.4. Які задачі вирішуються в процесі кореляційного аналізу?
7.5. Які існують етапи кореляційного аналізу та задачі, що вирішуються на кожному з них?
7.6. Що являє собою кореляційне рівняння?
7.7. Що таке лінійний коефіцієнт кореляції?
7.8. Що таке квадратичний коефіцієнт кореляції?
7.9. Які існують основні методи визначення параметрів рівняння регресії?
7.10. Які непараметричні методи застосовуються при визначенні зв’язку між ознаками?
Розв’язок типових завдань
Завдання 7.1
Необхідно:
– використовуючи дані таблиці 7.7 про споживання м’яса та м’ясопродуктів у сім’ях робітників і службовців залежно від рівня середньодушового сукупного доходу, за допомогою кореляційного відношення оцінити щільність зв’язку між названими показниками. Відомо, що загальна дисперсія споживання м’яса і м’ясопродуктів становить 12,9. Перевірити істотність зв’язку між цими ознаками з імовірністю 0,95.
Дані для виконання:
Таблиця 7.7. Дані про споживання м’яса та м’ясопродуктів у сім’ях робітників і службовців залежно від рівня середньодушового сукупного доходу
| Рівень середньодушового сукупного доходу | Кількість сімей, % до підсумку | Споживання м’яса і м’ясопродуктів на члена сім’ї за рік, кг |
| Низький | ||
| Середній | ||
| Високий | ||
| Разом |
Розв’язок. Результативною ознакою y є споживання м’яса і м’ясопродуктів, а факторною x – рівень середньодушового сукупного доходу. Для оцінки тісноти зв’язку між цими ознаками використовують відношення 
, де 
– міжгрупова і загальна дисперсія.
Міжгрупову дисперсію обчислюють за формулою:
Розрахунок міжгрупової дисперсії подано в табл. 7.8.
Таблиця 7.8. Розрахунок міжгрупової дисперсії
| Номер груп за факторною ознакою | 
| 
| - 
| ( - )2 х
|
| ‑18 | ||||
| ‑2 | ||||
| Разом | ‑ |
Міжгрупова дисперсія становить 
, а загальна 
= 12,9, кореляційне відношення – 
Це означає, що 75% варіації споживання м’яса і м’ясопродуктів залежить від рівня середньодушового сукупного доходу, 25 % припадає на долю інших ознак.
Істотність зв’язку перевіримо за допомогою F-критерію:
.
Число ступенів вільності можна визначити так:
,
,
де m – число груп за факторною ознакою; n – кількість елементів сукупності;
Фактичне значення F-критерію більше від критичного F0,95 (2; 97) = 3,11, тобто зв’язок між рівнем середньодушового сукупного доходу і споживанням м’яса та м’ясопродуктів з імовірністю 0,95 визнається істотним.
Завдання 7.2
Необхідно:
– за даними табл. 7.9 обчислити параметри лінійного рівняння регресії, надати їм економічну інтерпретацію;
– за допомогою коефіцієнта детермінації визначити щільність зв’язку між урожайністю кукурудзи та строком її збирання;
– перевірити істотність зв’язку між зазначеними ознаками з імовірністю 0,95.
Дані для виконання:
Таблиця 7.9. Залежність урожайності кукурудзи від строку збирання урожаю обстежено 10 господарств, які належать до однієї природнокліматичної зони
| Номер господарства | Строк збирання урожаю, днів | Урожайність кукурудзи, ц/га |
Розв’язок. Результативною ознакою y є урожайність кукурудзи, а факторною x – строк збирання урожаю.
Для оцінки параметрів лінійного рівняння регресії складають систему нормальних рівнянь, що має вигляд:
Розрахункові суми для складання систем нормальних рівнянь наведено
в табл. 7.10.
Таблиця 7.10. Розрахунок сум для складання систем нормальних рівнянь
| № з/п | x | y | xy | х2 | y2 | Y | (Y - )2
|
| А | |||||||
| 32,60 | 43,56 | ||||||
| 40,64 | 2,07 | ||||||
| 50,69 | 132,02 | ||||||
| 46,67 | 55,80 | ||||||
| 36,62 | 6,66 | ||||||
| 26,57 | 159,52 | ||||||
| 38,63 | 0,33 | ||||||
| 18,53 | 427,25 | ||||||
| 54,71 | 240,56 | ||||||
| 46,67 | 55,80 | ||||||
| Разом | ‑ | 1123,57 |
Після підстановки відповідних значень х та у одержимо систему рівнянь:
392 = 10 a + 237 b;
8731 = 237 a + 5895 b.
Після розв’язку цієї системи будь-яким способом знаходимо відповідні значення a та b, підставляємо їх до формули рівняння регресії, в результаті чого одержимо:
Y = 86,87 – 2,01 x.
При збільшенні строку збирання урожаю кукурудзи на один день її урожайність знижується в середньому на 2,01 ц/га.
На підставі рівняння регресії обчислюють теоретичні значення Y
для всіх елементів сукупності. Наприклад, для першого господарства
Y 1 = 86,87 – 2,01 х 27 = 32,6 ц/га.
Теоретичні значення Y використовують для обчислення коефіцієнту детермінації 
, де 
– факторна, 
– загальна дисперсія.
Отже, 
; 
. Тоді 
.
Таким чином 85,3 % варіації урожайності кукурудзи лінійно пов’язані зі строком збирання урожаю.
Перевірку істотності зв’язку здійснюють за допомогою F-критерію, або 
для ступенів вільнoсті:
k 1 = m – 1 = 2 – 1 = 1;
k 2 = n – m = 10 – 2 = 8,
де m – число параметрів рівняння регресії для лінійного рівняння (m = 2), а n – кількість елементів сукупності (n = 10).
Критичне значення 
для імовірності 0,95 згідно з додатком становить 
(1,8) = 0,399. Фактичне значення = 0,853 перевищує критичне, що свідчить про істотність зв’язку.
Завдання 7.3
Необхідно:
– за результатами соціологічного опитування робітників-верстатників (таблиця 7.11) обчислити коефіцієнт асоціації, перевірити істотність зв’язку з імовірністю 0,95.
Дані для виконання:
Таблиця 7.11. Дані соціологічного опитування робітників-верстатників
| Чи задоволені ви темпами кваліфікаційного зростання | Чи маєте намір оволодіти суміжною професією | Разом | |
| так | ні | ||
| Так | |||
| Ні | |||
| Разом |
Розв’язок. Коефіцієнт асоціації обчислюють за формулою:
,
де 
– частоти відповідних комбінацій ознак. За розрахунком коефіцієнт асоціації становить +0,46, що свідчить про наявність прямого зв’язку між темпами кваліфікаційного зростання і набуттям суміжних професій,
.
Перевірку істотності зв’язку здійснюють за допомогою критерію 
, статистична характеристика якого функціонально пов’язана з коефіцієнтом асоціації:
.
Критичне значення для рівня істотності a = 0,05 і числа ступенів вільності K = 1 становить 0,95 (1) = 3,84 (див. додаток).
Фактичне значення 
більше від критичного. Отже, зв’язок між темпами кваліфікаційного зростання і набуттям суміжних професій істотний.
Завдання 7.4
Необхідно:
– за даними табл. 7.12 обчислити коефіцієнт співзалежності; з імовірністю 0,95 перевірити істотність зв’язку між ознаками.
Дані для виконання:
Таблиця 7.12. Дані комбінаційного розподілу подружніх пар за віком, років
| Вік дружини | Вік чоловіка | Разом | ||
| 15–29 | 30– 44 | 45 і більше | ||
| 15–29 | ||||
| 30–44 | ||||
| 45 і більше | ‑ | |||
| Разом |
Розв’язок. Оскільки число груп за обома ознаками однакове, використовуємо формулу коефіцієнта співзалежності Чупрова:
,
де 
– сума стандартизованих відхилень фактичних частот розподілу від теоретичних; m1 та m2 – кількість груп за першою і другою ознаками; n – кількість елементів сукупності.
Розрахунок подано в табл. 7.13. Теоретичні частоти обчислюють на основі підсумкових частот 
.
Наприклад, 
і т. д.
Таблиця 7.13. Розрахункова таблиця
| Група i j | f i j | f ‘i j | F i j – f ‘i j | (f i j – f ‘i j)2 | (f i j – f ‘i j)2 / f ‘i j |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 28,0 | |||||
| -6 | 3,3 | ||||
| -8 | 7,1 | ||||
| -7 | 4,4 | ||||
| 13,1 | |||||
| -5 | 8,0 | ||||
| -7 | 7,0 | ||||
| -7 | 4,1 | ||||
| 19,6 | |||||
| Разом | ‑ | 96,3 |
Коефіцієнт співзалежності становить 0,49, тобто:
.
Перевірку істотності зв’язку здійснюють за допомогою критерію з числом ступенів вільності K = (m1 – 1) (m2 – 1) = 2 x 2 = 4.
Критичне значення (0,95) (4) = 9,49 значно менше від фактичного 
, отже, зв’язок між віком подружжя істотний.
Завдання 7.5
Необхідно:
– обчислити коефіцієнт рангової кореляції та перевірити істотність зв’язку між результатами лижників у кросах і лижних гонках з імовірністю 0,95.
Дані для виконання:
Підсумкові результати в кросах (ранг Х) і лижній гонці (ранг Y) у 10 лижників розподілились так:
| X | ||||||||||
| Y |
Розв’язок. Коефіцієнт рангової кореляції визначають за формулою Спірмена
,
де n – кількість елементів сукупності; d = 
– відхилення рангів.
Розрахунок суми квадратів відхилень рангів наведено в табл. 7.14.
Таблиця 7.14. Розрахунок суми квадратів відхилень рангів
| X | Y | d =
| d 2 |
| ‑ | ‑ | ‑ |
За розрахунком коефіцієнт рангової кореляції становить 0,83.
Критичне значення r для a = 0,05 наведено в додатку. Для n = 10 критичне значення r 0,95 = 0,563 менше від фактичного, що свідчить
про істотний зв’язок між ознаками.
Завдання для самопідготовки
Завдання 7.6
Необхідно:
– визначити, яка з наведених нижче корельованих пар ознак є факторною, а яка результативною.
Дані для виконання:
1. Потужність електростанції, виробництво електроенергії.
2. Споживчі ціни, купівельна спроможність грошової одиниці.
3. Безробіття, рівень злочинності.
4. Продуктивність праці робітника-верстатника, вік виробничого обладнання.
5. Торгова площа магазинів, товарооборот.
6. Оборот біржі, кількість брокерських місць.
7. Фізичний знос обладнання, коефіцієнт змінності роботи підприємства.
Завдання 7.7
Необхідно:
– визначити, які з наведених залежностей соціально-економічних явищ є функціональними, а які кореляційними:
Дані для виконання:
1. Витрати сімей на продукти харчування – від числа членів сім’ї.
2. Загальний капітал акціонерної компанії – від кількості випущених компанією акцій та їх ринкової ціни.
3. Тривалість життя населення регіону – від стану екологічного середовища.
4. Собівартість продукції – від обсягу виробництва і виробничих витрат.
5. Введення в дію житла – від капітальних вкладень у житлове будівництво.
6. Плата за кредит – від розміру позики і процента за користування кредитом.
7. Попит на товари народного споживання – від наявності їх на ринку і цін.
Завдання 7.8
Необхідно:
– за даними табл. 7.15 обчислити: 1) міжгрупову дисперсію продуктивності верстатів; 2) за допомогою кореляційного відношення оцінити щільність зв’язку між виробітком деталей за зміну і строком служби верстатів; 3) використовуючи
F- критерій, перевірити істотність зв’язку з імовірністю 0,95.
Дані для виконання:
Загальна дисперсія продуктивності верстатів за зміну становить 292.
Таблиця 7.15. Дані про групування верстатів за строком служби
| Строк служби верстатів, років | Кількість верстатів | Виробіток деталей за зміну в розрахунку на 1 верстат, шт. |
| До 7 | ||
| 7–14 | ||
| 14–20 | ||
| 20 і більше | ||
| Разом |
Завдання 7.9
Необхідно:
– за даними табл. 7.16: 1) обчислити міжгрупову, середню з групових та загальну дисперсії виробітку одного автомобіля, показати їх взаємозв’язок; 2) для оцінки тісноти зв’язку між виробітком автомобіля та його технічною швидкістю використати кореляційне відношення, пояснити його економічний зміст; 3) за допомогою F-критерію перевірити істотність зв’язку. Зробити висновки з імовірністю 0,95.
Дані для виконання:
Таблиця 7.16. Залежність виробітку вантажного автомобіля від технічної швидкості
| Середня технічна швидкість автомобіля, км/год. | Кількість автотранспортних підприємств | Середній виробіток на 1 машино-год, т-км | Дисперсія середнього виробітку |
| До 30 | |||
| 30–40 | |||
| 40–50 | |||
| 50 і більше | |||
| Разом | ‑ |
Завдання 7.10
Необхідно:
1) визначити функцію, яка відображає залежність якості сировини
від дальності перевезень; 2) обчислити параметри рівняння регресії, пояснити їх економічний зміст; 3) за допомогою коефіцієнта детермінації оцінити щільність зв’язку між названими показниками; 4) перевірити істотність зв’язку, користуючись F -критерієм, з імовірністю 0,95, зробити висновки.
Дані для виконання:
Консервний комбінат здійснює заготівлю сировини в радіусі до 200 км (див. табл. 7.17).
Таблиця 7.17. Залежність якості заготовленої сировини від відстані перевезення
| Радіус перевезення, км | Частка нестандартної сировини, % | Радіус перевезення, км | Частка нестандартної сировини, % |
Завдання 7.11
Необхідно:
– за даними табл. 7.18 оцінити щільність зв’язку між наведеними показниками за допомогою коефіцієнту асоціації; перевірити його істотність з імовірністю 0,95.
Дані для виконання:
Таблиця 7.18. Дані про стосунки 310 молодих сімей з батьками
| Молоді сім’ї, що проживають | Число молодих сімей, яким | ||
| допомагають батьки | не допомагають батьки | Разом | |
| З батьками | |||
| Окремо | |||
| Разом |
Завдання 7.12
Необхідно:
– за даними табл. 7.19 проаналізувати комбінаційний розподіл робітників та оцінити щільність зв’язку між професійною мобільністю і задоволеністю працею за допомогою коефіцієнта співзалежності Чупрова; перевірити істотність зв’язку, використовуючи критерій 
. Висновки зробити з імовірністю 0,95.
Дані для виконання:
Таблиця 7.19. Дані соціологічного опитування молодих робітників
| Чи задоволені професією | Чи маєте намір змінити професію | Разом | ||
| так, найближчим часом | так, в перспективі | ні | ||
| Задоволений | – | |||
| Ставлюсь байдуже | ||||
| Незадоволений | ‑ | |||
| Разом |
Завдання 7.13
Необхідно:
– за даними табл. 7.20 оцінити щільність зв’язку між технічним і організаційним рівнями виробництва за допомогою коефіцієнта рангової кореляції; перевірити істотність зв’язків з імовірністю 0,95.
Дані для виконання:
Таблиця 7.20. Дані експертних бальних оцінок технічного і організаційного рівня виробництва груп промислових підприємств
| Номер підприємства | Рівень | |
| технічний | організаційний | |
| 1 | 2 | 3 |
Тестові завдання
для підсумкового контролю знань
7.1 Регресією називають:
а) будь-який причинно-наслідковий зв’язок між ознаками;
б) показник функціонального зв’язку між ознаками;
в) односторонню стохастичну залежність;
г) діаграму розсіювання.
7.2 Прямолінійним зв’язком називають зв’язок, коли:
а) результативна ознака пов’язана з однією факторною;
б) результативна ознака пов’язана з багатьма факторними;
в) його можна описати рівнянням прямої;
г) його можна описати рівняння кривої.
7.3 Стохастичний зв’язок це:
а) вид кореляційного зв’язку;
б) форма кореляційного зв’язку;
в) тип зв’язку між випадковими величинами;
г) зв’язок між випадковими величинами, при якому зміна однієї з них зумовлює зміну закону розподілу інших.
7.4 Кореляційний зв’язок, при якому значення результативної ознаки зменшується при збільшенні факторної ознаки називається:
а) прямим;
б) прямолінійним;
в) зворотним;
г) криволінійним;
7.5 До складу кореляційного аналізу не включаються наступні етапи роботи:
а) математично-економічне моделювання;
б) знаходження параметрів кореляційного рівняння;
в) визначення кореляції атрибутивних ознак;
г) оцінка й аналіз одержаних результатів.
7.6 Коефіцієнт кореляції це:
а) вимірник тісноти кореляційного зв’язку при лінійній залежності;
б) вимірник тісноти кореляційного зв’язку при криволінійній залежності;
в) вимірник тісноти кореляційного зв’язку;
г) вимірник тісноти зворотного кореляційного зв’язку.
